hanfeidyx的博客

张量积曲面的典型算法通常可由曲线的算法推广而来，其一般过程是：先沿着一个方向运用曲线的算法对张量积曲面系数的每一行（或列）（将其看作曲线的系数）进行处理，然后再沿着另一个方向对所得结果的每一列（或行）进行处理。和曲线的情形类似，由于Bezier曲面具有很多优良的性质，因而和幂基曲面相比更适合于几何造型中的应用。它也采用基函数和对应的几何系数的乘积之和的形式表示曲面。是单参数的矢值函数，它是由直线段到三维欧几里得空间的映射（变形）。的一元基函数的乘积来构造。，这时对应的曲面为非有理的Bezier曲面。

由经典数学可知，包括圆在内的所有二次曲线，都可以用有理函数（即两个多项式相除）来表示，事实上，他们可以用如下形式的有理函数来表示。坐标函数形如（1.13）式（即：具有相同的分母）的有理曲线具有一种很好的几何解释，因而可以对其进行高效的处理和紧凑的存储。尽管多项式具有很多优点，但是有很多重要的曲线、曲面类型，如圆、椭圆、双曲线、圆柱面、圆锥面、球面等，无法精确地用多项式表达。有理曲线和齐次坐标的概念，有理Bezier曲线是有理B样条曲线的特殊情况。并不是第一象限的四分之一圆弧的中点，即：参数化不是均匀的。

设计者通过（Bezier曲线的）控制点可以比通过幂基形式中的系数更直观地控制曲线的形状。由于幂基和Bezier形式都以多项式函数作为坐标函数，因此，它们在数学上是等价的，即：以其中一种形式表示的曲线也可以表示为另一张形式。除了前面提到的性质，Bezier曲线在通常的变换（平移、旋转、缩放）下具有几何不变性，即：要对Bezier曲线进行上述变换，只需对其各个控制点进行该变换即可实现。，（1.12）式称为deCastcljau算法，它是一个割角的过程，这个过程所得到的点形成一个三角形。

多项式函数的两种常用表示方法——幂基表示和Bezier表示。

对于隐式表示形式和参数表示形式，很难断言其中一种总是比另一种好，它们各有自己的优点和缺点。对于一条给定的曲线，除了差一个常数因子外，方程是唯一的。因此，尽管不同的参数化会产生不同的偏导矢，但只要。很明显，球面在两个极点的法矢确实是存在的，但在这种参数化之下，无法用。在参数表示形式中，曲线上点的每个坐标分量均被表示为一个独立参数的显函数。在几何造型中，两种最常用的曲线、曲面表示方法是隐式表示和参数表示方法。的偏导矢，即：分别沿着经线和纬线的速度矢量。因此，一条曲线的参数表示形式是不唯一的。