Multiobjective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition

handsomeboysk

于 2025-02-26 15:24:51 发布

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文章标签： python 算法机器学习

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MOEA/D（Multiobjective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition，基于分解的多目标进化算法）是一种多目标优化算法，由 Zhang 和 Li 于 2007 年提出。它的核心思想是将多目标优化问题（MOP）分解为一组单目标子问题，并采用进化算法协同求解。

MOEA/D 的核心思想

在多目标优化问题（MOP）中，我们通常希望优化多个相互冲突的目标。MOEA/D 采用分解（Decomposition）的方式，将 MOP 转化为多个单目标优化子问题，并利用邻域搜索进行优化。

相较于 NSGA-II 这种基于 Pareto 支配排序的方法，MOEA/D 直接优化多个标量化的子问题，使得解的分布性更好，特别适用于高维多目标优化问题。

MOEA/D 的数学原理

1. 多目标优化问题

一个典型的 MOP 可以表示为：
$\min F(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x)), \quad x \in \Omega$
其中：

$x$ 是决策变量，
$f_i(x)$ 是需要优化的目标函数，
$\Omega$ 是可行解空间，
$m$ 是目标的数量。

2. 分解方法

MOEA/D 使用分解策略将 MOP 转换为多个单目标优化子问题。常见的分解方法包括：

加权和法（Weighted Sum, WS）：
$g^{WS}(x|\lambda) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i f_i(x)$
切比雪夫方法（Tchebycheff, TCH）：
$g^{TCH}(x|\lambda, z^*) = \max_{i=1,...,m} \lambda_i |f_i(x) - z^*_i|$
边界交叉约束法（Boundary Intersection, BI）：
$g^{BI}(x|\lambda, z^*) = d_1 + \theta d_2$
其中：
$\lambda = (\lambda_1, ..., \lambda_m)$ 是权重向量，控制不同目标的权衡；
$z^* = (z^*_1, ..., z^*_m)$ 是理想点，表示所有目标的最优值；
$d_1$ 和 $d_2$ 是个体到参考线的距离。

3. 邻域结构

MOEA/D 通过邻域搜索来更新解：

对于每个子问题 $i$ ，选择最近的 $T$ 个权重向量作为邻居；
交叉和变异操作仅在邻居中进行，从而促进局部搜索，提高收敛性。

MOEA/D 的工作流程

初始化
- 生成一组均匀分布的权重向量 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_N$ 。
- 计算理想点 $z^*$ 。
- 初始化种群。
子问题求解
- 选择邻居。
- 交叉变异生成新解。
- 使用分解方法评估目标函数。
- 更新邻居解。
更新理想点
- 如果有新的解更优，则更新 $z^*$ 。
迭代优化
- 重复执行上述步骤，直到达到最大代数。

MOEA/D 与 NSGA-II 的对比

算法	MOEA/D	NSGA-II
优化策略	采用分解方法优化多个子问题	采用 Pareto 排序优化整体种群
选择策略	基于邻域搜索	采用非支配排序与拥挤度
适用场景	适用于高维目标问题，分布更均匀	适用于目标较少（2-3 个目标）问题

MOEA/D 通过分解策略直接优化子问题，在高维多目标问题（如 5 维以上）上表现优异，而 NSGA-II 在低维问题上仍然表现较好。

Python 代码示例

MOEA/D 的实现可以使用 pymoo 库：

import numpy as np
from pymoo.algorithms.moo.moead import MOEAD
from pymoo.factory import get_problem
from pymoo.optimize import minimize

# 定义优化问题（ZDT1）
problem = get_problem("zdt1")

# 配置 MOEA/D 算法
algorithm = MOEAD(
    n_neighbors=15,
    decomposition="tchebi",
    prob_neighbor_mating=0.7
)

# 运行算法
res = minimize(problem,
               algorithm,
               ("n_gen", 200),
               seed=1,
               verbose=True)

# 画 Pareto 前沿
import matplotlib.pyplot as plt
F = res.F
plt.scatter(F[:, 0], F[:, 1], c="blue", label="MOEA/D Pareto Front")
plt.xlabel("f1(x)")
plt.ylabel("f2(x)")
plt.legend()
plt.title("MOEA/D Pareto Front for ZDT1")
plt.show()