除数博弈

最新推荐文章于 2025-03-31 02:00:00 发布

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分类专栏：算法解析文章标签：算法数据结构 python

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本文介绍了LeetCode中一道关于动态规划的题目——除数博弈，讨论了解决思路，包括状态转移的表达式修正以及使用双指针法的代码实现，重点在于分析游戏规则和确定Alice获胜条件。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1. 题目

这道题是Leetcode中动态规划类型的一道题，题目难度为简单。

题目链接：除数博弈

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 n 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < n 且 n % x == 0 。
用 n - x 替换黑板上的数字 n 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true 。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

2.思路

由于我们是为了训练动态规划的解题思路，因此我们不考虑其它的方法。在这道题中，如果数字为1的话，它没有任何操作，因此Alice必定输。

dp数组初始化

那么我们可以定义一个dp数组，并初始化数组元素为[0,0]，这里定义两个是因为游戏是从1开始，为了方便下标计算才定义两个。

状态转移表达式

接着，我们需要找到它们的状态转移表达式，假设a + b = c，如果dp[a]和dp[b]都为1，那么我们不妨大胆猜测dp[c]=1。为啥呢？因为如果alice对于a和b都能赢，那么对于c，他可以分两步来减数。

那么我们初步的状态表达式为：

dp[i] = dp[i-a] & dp[a]

那还有其它的情况吗？有，对于动态规划的题目来说，前面几个数是最特殊的，对于数字1和2，我们可以很容易发现我们前面的状态转移有问题,因为2 = 1 + 1，而dp[1]=0,那么dp[2]如果根据前面的表达式就是有问题的。对于这个情况，我们猜测：如果a + b = c,同时dp[a]和dp[b]相等，那么dp[c]就为1。这个猜测是包含前面的表达式，同时也包含刚才的特殊情况。

因此改正的状态表达式为：

dp[i] = ! dp[i-a] ^ dp[a]

代码实现

有了刚才的状态表达式，那我们用代码如何实现呢？我们该如何考虑多种情况呢？因为一个数不止两个加数（想了好久才想到，大学白读了），因此我们需要用双指针来寻找这些子状态，然后进行判断，如果存在子状态符合上述情况则当前dp[i]为1。

3.代码

class Solution:
    def divisorGame(self, n: int) -> bool:
        dp = [0,0]
        for i in range(2,n+1):
            left,right = 1,i-1
            isT = False
            while left <= right:
                if dp[left] ^ dp[right] == 0:
                    dp.append(1)
                    isT = True
                    break
                left += 1
                right -= 1
            if not isT:
                dp.append(0)
        return dp[-1] == 1