为什么需要弧度制

转自：http://www.zxxk.com/article/215375.html

作者：学夫子
　　
　　弧度制是一种角度的度量制度，从中学开始讲弧度制开始，就一定有很多学生对弧度制存在的必要性表示疑问——角度制不够吗，为什么还要弄个弧度制？我们听见一些文章里的说法是，因为角度制的数据太大了，使用起来很不方便，而弧度制能够弥补这一点。这当然不是弧度制的真正作用，实际上，采用弧度制唯一的原因就是：它能够让很多公式变得简单。
　　
　　来看我们的弧长和扇形面积公式：
　　
　　我们可以看到，弧长与半径和圆心角都成正比，但是这个比例系数太烦了，为了简化公式，我们完全可以重新定义角度的度量制度，使得比例系数为1，而半径r的度量已经确立起来，那么能改变的就只有角度，于是就有了我们的弧度制：
　　
　　这样定义下的角度能够让弧长和扇形面积公式都变得非常简单，定义本身便给出了角度与弧度之间的互化。所以弧长与半径、角度之间的简单正比关系成为弧度制定义的来源。
　　
　　这事儿不是欧拉一个人的突发奇想，在物理学中，为了简化公式而定义一个量的度量制度的事情也有过，最著名的莫过于对“力”的度量，牛顿通过实验得到这样一个结论：物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。即a=kF/m，而在当时并没有关于单位力的度量（或者是另一种度量制度？），于是为了方便，就取k=1，这样一来公式F=ma实际上便成为了力的度量制度来源。
　　
　　这种通过简单的比值来定义一个新量的方法，在物理学当中得到广泛采用，比如压强，密度等这些概念都是按如此方法定义。当然，弧度制下的角度能够带来数学中的其他好处——一个最著名的就是能使得极限sinx/x趋近于1的速度变得更快。（来源：学夫子数学博客）