概统第二章学习笔记

一.随机变量
1.定义：设随机试验E的样本空间为S={e},X=X(e)是定义在S上的实值单值函数，称为随机变量，简记为r.v.
2.表示：一般省略自变量e，用大写字母XYZ等表示，取值用小写字母xyz表示。
3.注意：不同样本点可以对应同一随机变量，反之不成立。随机变量函数与普通函数有本质区别。
分类
项目 确定性函数 随机变量
归属 数学分析 概率论
定义域 实数域 样本空间
含义 数值变化の结果 随机试验の结果
描述方法 图示法、函数表达式 分布/密度函数
性质、特征 奇偶，单调，凹凸 均值、方差、高阶矩

4.分类：离散型：取值有限个或可列无限多个（取球问题）
连续性：取值无穷多个且充满某个区间（温度问题）
5.随机事件概率：定义L为实数集合，A={e|X(e)∈L}是由S中使X(e)∈L的所有样本点e所组成的事件，则P(A)=P{e|X(e)∈L}，随机事件A发生的概率就是随机变量X在某范围内取值的概率。随机变量的意义就是将事件及其概率模型化为随机变量机器概率分布。
二、离散型随机变量及其分布
1.定义：随机变量全部可能取到的值是有限个或可列无限多个
2.分布律：离散型随机变量X的所有可能取值的概率P{X=Xk}=Pk称为离散型随机变量的分布律
表示方式：列式 or 列表
做法：1.考虑所有可能取值 2.计算每个概率
3.分布律的性质：非负性，规范性。没有可列可加性，他不连续（？）。
三、常见的离散型随机变量和分布
1.（0-1）分布：X只能取0和1，记为X~b§

2.伯努利试验，二项分布
伯努利试验：在一次试验中只有两个可能结果，事件A出现的概率为p，不出现为1-p
N重伯努利试验：重复独立进行n次
二项分布：n重伯努利试验中，期望结果出现次数的概率

（排列组合可推）服从np二项分布，记为X~b(n,p)
3.泊松分布

定义：设随机变量所有可能取值为0，1，2…而取各个值的概率为 ，其中λ>0是常数，X~π（λ）
应用于一段时间内事件频繁发生的情况（人多，次数多——）
4.泊松定理：设λ>0是一个常数，n是任意正整数，设np=λ，则对于任一固定的非负整数k，有
定理表明当n很大，p很小时可由泊松分布近似二项分布
5.01分布，二项分布，泊松分布的关系

四、连续型随机变量及其分布
对于连续型随机变量，关注其取值落在某区间内的概率

1.定义：对于随机变量x的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有 ，则称x为连续型随机变量，其中函数f(x)称为x的概率密度函数，简称概率密度或密度。（分布函数也连续）
2.性质：非负性，规范性
3.概率密度性质：积分为累计概率，微分用原函数求导，取特定值概率为0
4.例题：用概率密度规范性确定未知量
五、分布函数
1.定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(X)=P{X<=x},x∈R，称为X的分布函数，简称分布。
根据概率单调性，随机变量X落在一段区间上的概率为
作用：完整描述了随机变量在某一区间上的统计规律
2.性质：单调性，有界性，连续型（右连续）
3.计算
离散型随机变量的分布函数是分段函数

常见的连续型随机变量：均匀分布，指数分布，正态分布
（1）均匀分布

（2）指数分布

应用：指数分布——独立随机事件发生的间隔时间（排队等候）
泊松分布——顾客单位时间内到达的人数
（3）正态分布

六、随机变量函数的分布
1.离散型随机变量的分布

2.连续型随机变量分布

至此，第二章学习笔记结束。