17、双调和坐标及其特性

双调和坐标及其特性

1. 引言

在变形建模领域，双调和坐标（Biharmonic Coordinates）作为一种强大的工具，因其在保持表面细节和实现自然变形方面的优势而备受关注。本文将详细介绍双调和坐标的定义、与其他坐标系的比较、应用优势、局限性以及改进与发展，帮助读者全面了解这一技术。

2. 双调和坐标的定义

双调和坐标是基于拉普拉斯算子的广义重心坐标的一种。它通过求解拉普拉斯方程来定义，能够在变形过程中保持物体的细节和形状。双调和坐标的基本公式如下：

[
u(v) = \int_{\partial D} \left( u(\epsilon) \frac{\partial G(\epsilon, v)}{\partial n(\epsilon)} - G(\epsilon, v) \frac{\partial u(\epsilon)}{\partial n(\epsilon)} \right) d\sigma_\epsilon
]

其中，$\epsilon$ 是表面上的一点，$G$ 是拉普拉斯方程的基本解，可以表示为：

[
G(\epsilon, v) =
\begin{cases}
\frac{1}{(2-d)A_d | \epsilon - v |^2-d} & \text{for } d \geq 3 \
\frac{1}{2\pi} \log | \epsilon - v | & \text{for } d = 2
\end{cases}
]

其中，$A_d$ 是 $R^d$ 中单位球的面积