红黑树的性质与简单实现

于 2022-06-22 16:53:41 发布
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分类专栏： C++ 文章标签： 算法 数据结构
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红黑树的性质与简单实现

红黑树性质

之前的博客中介绍了AVL树的性质与基本实现，红黑树作为另一种树型结构，他又有哪些性质呢？
红黑树作为一种二叉搜索树，与AVL树通过高度差来控制平衡不同，他在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
因此，红黑树为了控制高度平衡，它具有如下的性质：

  1. 每个结点不是红色就是黑色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
  4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
  5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

红黑树有如上性质就意味着他的结点控制有如下性质：

  1. 假如红黑树任意一条路径中黑色结点的数量为X，那么该红黑树的高度h则为2X>=h>=X
  2. 假如红黑树任意一条路径中黑色结点的数量为X，那么该红黑树的结点数量为2^X-1<=N<=2^2X-1
    因此与严格平衡的AVL树搜索的时间复杂度相比，AVL树查找的时间复杂度为log2N，而红黑树查找一个树的时间复杂度为2*log2N，但是AVL树控制平衡是需要经常旋转来控制平衡，而红黑树控制平衡所要进行的旋转性能损耗会比AVL树低。

红黑树的简单实现

红黑树的基本构成

红黑树顾名思义每个节点中都存在一个变量来表示该节点的颜色(红色或者黑色)，通过颜色以及红黑树的原则来控制红黑树的平衡，因此红黑树节点可以如下构造：
这里使用枚举来标识红黑树每个节点的颜色，这里默认红黑树每个节点存放的是一个pair类型的变量，红黑树也是通过一个三叉链来实现的。

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBtreeNode
{
	RBtreeNode<K, V>* _left;
	RBtreeNode<K, V>* _right;
	RBtreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;
	RBtreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED)
	{

	}

};

定义红黑树节点后，可以简单构造出红黑树的基本框架，然后依次实现插入等功能即可。

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBtreeNode<K, V> Node;
public:
	RBTree()
		:_root(nullptr)
	{

	}
	bool Insert(const pair<K, V>& kv);
	void _InOrder(Node* root);
	bool IsBalance();
private:
	Node* _root;
};

红黑树的插入

红黑树插入和AVL树类似，先找到插入位置进行插入，然后再调整平衡，两者之间主要是调整平衡的方式有区别。下面先看一下红黑树的插入过程的代码实现

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)//当插入的节点为根节点的时候
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)//当插入的值比当前节点大时候，往右走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)//当插入的值比当前节点小的时候，往左走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//当出现重复值的时候
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;//将插入节点的值设置为红色 这样成本最低
		if (parent->_kv.first < kv.first)//当parent节点中的值比kv值小的时候，cur为该节点的右节点
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else//当parent节点中的值比kv值大的时候，cur为该节点的左节点
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
	}

通过如上的代码可以实现红黑树新增节点的插入，但是插入后可能会导致红黑树的不平衡或者违反红黑树的基本原则，因此需要对红黑树插入后进行平衡调节。这里平衡调节大致可以分为如下4种情况：

情况1

如下图所示，当parent节点为红，parent的兄弟节点也为红，grandparent节点为黑的时候，插入一个红色的左节点，此时出现了两个连续的红色节点，因此需要进行调整，这里的调整方法是将parent节点和uncle节点都改为黑色，并将grandparent节点改为红色，如果grandparent节点为根节点则改为黑色，否则就继续向上调整，代码实现如下：
在这里插入图片描述

		while (parent && parent->_col == RED)//当parent存在且为红色时需要进行调整
		{
			Node* grandparent = parent->_parent;
			if (parent == grandparent->_left)
			{
				//变色继续向上调整
				Node* uncle = grandparent->_right;
				//uncle存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
				}
				
			}
		}
		_root->_col=BLACK;

情况2

当cur为红色节点，parent也为红色节点，grandparent为黑色节点，此时uncle可能不存在也可能为黑色节点，此时如果uncle节点不存在，则cur一定是新插入的节点，因为parent是红色节点，如果cur不是新插入的节点则会不满足每条路径黑色节点个数相同这个原则。
在这里插入图片描述

如果uncle节点存在并且为黑的情况下，那么cur节点原来一定是黑色的，现在看到的为红色是因为cur的子树在向上调整的过程中变为红色的。
在这里插入图片描述
如果插入节点为左节点，则进行上面的一次右旋即可，如果插入的为右节点，那么则需要先进行左旋转化为前一种情况再进行右旋。
在这里插入图片描述

调整实现代码如下：

//uncle不存在或者存在且为黑色
if (cur == parent->_left)//cur是parent的左节点
{
	RotateR(grandparent);
	parent->_col = BLACK;
	grandparent->_col = RED;
	parent = cur->_parent;
}
else//如果当前节点是parent的右节点
{
	RotateL(parent);
	RotateR(grandparent);
	cur->_col = BLACK;
	grandparent->_col = RED;
}
break;

情况3

当parent为grandparent的右节点的时候，和上面两种情况类似，只需要进行相同的处理即可
代码如下：

				Node* uncle = grandparent->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色向上处理
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//uncle不存在或为黑色
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandparent);
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandparent);
						cur->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					break;
				}

旋转

这里的旋转和AVL树中的旋转方式类似，代码如下：

	void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;

		}
	}

	void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}

	}

总结

红黑树的总体插入代码如下：

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)//当插入的节点为根节点的时候
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)//当插入的值比当前节点大时候，往右走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)//当插入的值比当前节点小的时候，往左走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//当出现重复值的时候
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;//将插入节点的值设置为红色 这样成本最低
		if (parent->_kv.first < kv.first)//当parent节点中的值比kv值小的时候，cur为该节点的右节点
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else//当parent节点中的值比kv值大的时候，cur为该节点的左节点
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		while (parent && parent->_col == RED)//当parent存在且为红色时需要进行调整
		{
			Node* grandparent = parent->_parent;
			if (parent == grandparent->_left)
			{
				Node* uncle = grandparent->_right;
				//uncle存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色继续向上调整
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
				//uncle不存在或者存在且为黑色
				else
				{
					if (cur == parent->_left)//cur是parent的左节点
					{
						RotateR(grandparent);
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
						
					}
					else//如果当前节点是parent的右节点
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandparent);
						cur->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					break;
				}

				
			}
			else//parent==grandparent->_right
			{
				Node* uncle = grandparent->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色向上处理
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//uncle不存在或为黑色
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandparent);
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandparent);
						cur->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					break;
				}

			}
		}
		_root->_col = BLACK;
		return false;

	}

红黑树的查找

红黑树的查找功能和其他搜索二叉树类似，使用中序遍历即可，代码实现如下：


	void InOrder()
	{
		return _InOrder(_root);
	}
	
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

红黑树平衡判断

红黑树的平衡判断主要从红黑树的原则入手：第一则是每条路径中黑色节点的个数相同，第二则是不会出现连续的红色节点，第三则是根节点必须为黑色，判断平衡的函数依据以上几个原则来实现：

	bool IsBalance()//判断二叉树是否平衡
	{
		if (_root && _root->_col == RED)
		{
			cout << "根节点不是黑色" << endl;
			return false;
		}
		int banchmark = 0;//统计某条路径中黑色节点的个数
		Node* left = _root;//这里选取最左节点路径
		while (left)
		{
			if (left->_col == BLACK)
			{
				++banchmark;
			}
			left = left->_left;
		}
		int blacknum = 0;
		return _IsBalance(_root, banchmark, blacknum);

	}
	bool _IsBalance(Node* root, int banchmark, int blacknum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (banchmark != blacknum)
			{
				cout << "存在路径黑色节点不相等" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "出现连续红色节点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			blacknum++;
		}
		return _IsBalance(root->_left, banchmark, blacknum) && _IsBalance(root->_right, banchmark, blacknum);
	}

红黑树的高度计算

这里红黑树的高度计算和正常二叉树的高度计算一样，找出最长路径即可

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}


	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

红黑树的测试

#include<iostream>
using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBtreeNode
{
	RBtreeNode<K, V>* _left;
	RBtreeNode<K, V>* _right;
	RBtreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Colour _col;
	RBtreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED)
	{

	}

};


template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBtreeNode<K, V> Node;
public:
	RBTree()
		:_root(nullptr)
	{

	}
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)//当插入的节点为根节点的时候
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)//当插入的值比当前节点大时候，往右走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)//当插入的值比当前节点小的时候，往左走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//当出现重复值的时候
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;//将插入节点的值设置为红色 这样成本最低
		if (parent->_kv.first < kv.first)//当parent节点中的值比kv值小的时候，cur为该节点的右节点
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else//当parent节点中的值比kv值大的时候，cur为该节点的左节点
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		while (parent && parent->_col == RED)//当parent存在且为红色时需要进行调整
		{
			Node* grandparent = parent->_parent;
			if (parent == grandparent->_left)
			{
				Node* uncle = grandparent->_right;
				//uncle存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色继续向上调整
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;

				}
				//uncle不存在或者存在且为黑色
				else
				{
					if (cur == parent->_left)//cur是parent的左节点
					{
						RotateR(grandparent);
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					else//如果当前节点是parent的右节点
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandparent);
						cur->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					break;
				}

				
			}
			else//parent==grandparent->_right
			{
				Node* uncle = grandparent->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//变色向上处理
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
				else//uncle不存在或为黑色
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandparent);
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandparent);
						cur->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					break;
				}

			}
		}
		_root->_col = BLACK;
		return false;

	}

	void InOrder()
	{
		return _InOrder(_root);
	}


	bool IsBalance()//判断二叉树是否平衡
	{
		if (_root && _root->_col == RED)
		{
			cout << "根节点不是黑色" << endl;
			return false;
		}
		int banchmark = 0;//统计某条路径中黑色节点的个数
		Node* left = _root;//这里选取最左节点路径
		while (left)
		{
			if (left->_col == BLACK)
			{
				++banchmark;
			}
			left = left->_left;
		}
		int blacknum = 0;
		return _IsBalance(_root, banchmark, blacknum);

	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool _IsBalance(Node* root, int banchmark, int blacknum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (banchmark != blacknum)
			{
				cout << "存在路径黑色节点不相等" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "出现连续红色节点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			blacknum++;
		}
		return _IsBalance(root->_left, banchmark, blacknum) && _IsBalance(root->_right, banchmark, blacknum);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;

	}


	void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;

		}
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}

	}
		
private:
	Node* _root;
};

上面是该红黑树简单实现的完整代码，接下来使用插入一段随机的数组来验证该红黑树的构建，测试代码如下：

void TestRBTree()
{
	int arr[] = { 2,15,12,74,64,13,15,10,11,13,12,18 };
	RBTree<int, int> Node;
	for (auto e : arr)
	{
		Node.Insert(make_pair(e, e));
	}
	Node.InOrder();
	cout << Node.IsBalance() << endl;
	cout << Node.Height() << endl;
}

在这里插入图片描述

void TestRBTree()
{
	vector<int> v;
	//int arr[] = { 2,15,12,74,64,13,15,10,11,13,12,18 };
	srand(time(0));
	int N = 1000000;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand());
	}
	RBTree<int, int> Node;
	for (auto e : v)
	{
		Node.Insert(make_pair(e, e));
	}
	//Node.InOrder();
	cout << Node.IsBalance() << endl;
	cout << Node.Height() << endl;
}

在这里插入图片描述
这里测试1000000个随机数进行插入，生成二叉树，可以看到他只有19层左右

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