6、图论算法：距离完美码与支配集的高效求解

图论算法：距离完美码与支配集的高效求解

1. 距离完美码问题

在图论的研究中，距离完美码问题是一个重要的研究方向。对于任意的 (d \geq 2)，我们要证明 (d) - 距离 (k) - 完美码问题在单位 2 - 区间图中是 W[1] - 困难的，这通过从 (k) - 多色团问题进行 FPT 归约来实现。

首先考虑 (d = 2) 的情况。给定一个 (k) - 多色团问题的实例 ((G, \kappa))，我们构建一个单位 2 - 区间的族 (F)，使得图 (G) 有一个 (k) - 多色团当且仅当 (F) 的交集图 (G_F) 有一个 2 - 距离 (k’) - 完美码，其中 (k’ = k + \binom{k}{2})。

构建过程如下：
- 顶点选择 ：对于每种颜色 (i)（(1 \leq i \leq k)），设 (V_i) 是颜色为 (i) 的顶点集合。在轨道 1 上有一个标记为 (x) 的区间，在轨道 2 上有 (|V_i|) 个不相交的区间，每个顶点对应一个。对于 (V_i) 中的第 (r) 个顶点 (u)（(1 \leq r \leq |V_i|)），添加一个 2 - 轨道区间 (\langle u \rangle = (x, u)) 到 (F) 中。同时，添加四个虚拟的 2 - 轨道区间到 (F) 中。
- 边选择 ：对于每对不同的颜色 (i) 和 (j)（(1 \leq i < j \leq k)），设 (E_{ij}) 是边 (uv) 的集合，其中 (u) 的颜色为 (i)，(v) 的颜色为 (j)。在轨道 1 上有 (|E_{ij}|) 个不相交的区间，