13、哪种模糊集的随机集表示最简单？

哪种模糊集的随机集表示最简单？

1. 不同表示方式的对比

在模糊集的表示中，存在两种不同的随机集表示方式，它们在计算复杂度上有显著差异：
- 第一种表示方式 ：一般情况下，当所有 $\mu_i$ 的值都不等于 0 和 1 时，所有 $2^m$ 个满足 $S \subseteq {1, \ldots, m}$ 的集合 $S$ 都有非零概率。若对于某个 $x_0$ 有 $\mu(x_0) = 1$，则有 $2^{m - 1}$ 个集合具有非零概率，因为不包含 $x_0$ 的集合概率为 0。
- 第二种表示方式 ：只需要 $m + 1$ 个具有非零概率的集合。若对于某个 $x_0$ 有 $\mu(x_0) = 1$，则只需要 $m$ 个这样的集合。

处理 $2^m$ 个对象在计算上是不可行的，例如当 $m = 300$ 时，所需的计算步骤超过了宇宙的寿命。相比之下，处理 $m + 1$ 或 $m$ 个集合是可行的。通常，对象数量越少，相应的计算就越可行。由此引出了两个自然的问题：
- 自然问题 2 ：与 $\alpha$-截集表示相对应的非零概率集合的数量是否是最小的，或者能否进一步减少这些集合的数量？
- 自然问题 3 ：如果非零概率集合的数量不能再减少，$\alpha$-截集表示是否是唯一具有最小数量非零概率集合的表示方式？

2. 定义与主要结果

• 模糊集的定义 ：给定集合 $X = {x_1, \ldots, x_m}