18、参激谐振器中瞬态振动的抑制

参激谐振器中瞬态振动的抑制

1. 引言

高Q值机械谐振器凭借其高Q因子（$Q = ω_i/γ_i$）和精准的共振频谱，在众多领域得到了研究与应用，像滤波器、高精度传感器、放大器以及逻辑电路等。然而，高Q值谐振器存在一个显著问题，即其达到稳态的过渡时间较长，这对于需要快速重复操作的设备而言，是一个严峻挑战。

近期的实验表明，在成对的微机械谐振器中，利用压电诱导的参数激励能够有效缩短其稳定时间。具体做法是，通过一个经过适当调谐的周期性信号作为开环控制，可将系统某一模式的响应振动降至最低。其原理是，在短时间窗口内激活参数激励（即脉冲），将第一模式的响应能量快速转移至第二模式，第二模式再耗散系统能量，从而抑制第一模式的瞬态振动，大幅缩短其稳定时间。这一实验可归类为反共振现象的特殊情况。

两个通过参数激励耦合的微机械谐振器的运动动力学可由两个耦合的Mathieu方程表示：
$\ddot{x}_1 + γ_1 \dot{x}_1 + ω_1^2x_1 + β \cos (ω_pt) x_2 = f_1 \cos (ω_dt)$
$\ddot{x}_2 + γ_2 \dot{x}_2 + ω_2^2x_2 + β \cos (ω_pt) x_1 = f_2 \cos (ω_dt)$
其中，$γ_i$ 是恒定阻尼因子，$β$ 是参数激励信号 $p(t) = β\cos(ω_pt)$ 的振幅，$f_i\cos(ω_dt)$ 是驱动信号。

2. 问题陈述

两个耦合的微机电谐振器，假设每个梁分别以 $ω_1$ 和 $ω_2$ 共振。由于 $ω_d = ω_1$，在时间 $t_d$ 内，第一根梁会与驱动信号 $f_1\cos(ω_