13、闭等价关系系统与完全仿射有序集的深入探究

闭等价关系系统与完全仿射有序集的深入探究

在数学领域中，闭等价关系系统（Closed SERs）和完全仿射有序集（Complete Affine Ordered Sets）有着独特的性质和紧密的联系，下面我们来详细探讨它们的相关内容。

完全仿射有序集的性质

完全仿射有序集呈现出平行性与格的交之间的自然联系。对于一个完全仿射有序集 (C := (Q, ≤, ∥))，有如下命题：
命题 2：若对于所有 (i ∈ I) 有 (x_i ∥ y_i)，且 (\bigcap_{i∈I} A(x_i) \neq ∅)，(\bigcap_{i∈I} A(y_i) \neq ∅)，则 (\bigwedge_{i∈I} x_i ∥ \bigwedge_{i∈I} y_i)。
证明过程如下：前提条件给出存在元素 (a, b ∈ A(Q))，使得 (a ∈ \bigcap_{i∈I} A(x_i)) 且 (b ∈ \bigcap_{i∈I} A(y_i))。根据 (A3) 可得 (\pi(b| \bigwedge_{i∈I} x_i) ≤ \bigwedge_{i∈I} y_i)。交换 (x_i) 和 (y_i) 的角色，可对偶地得到 (\pi(a| \bigwedge_{i∈I} y_i) ≤ \bigwedge_{i∈I} x_i)。假设 (\pi(b| \bigwedge_{i∈I} x_i) < \bigwedge_{i∈I} y_i)，这将导致 (\bigwedge_{i∈I} y_i \nparallel \bigwedge_{i∈I} x_i)，进而得到 (\pi(a| \bigwedge_{i∈I} y_i) < \bigwedge_{i∈I} x_i)，这会产生如图 3 所示的