动态规划初步-数位上的动态规划

最新推荐文章于 2025-06-10 10:10:31 发布

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最新推荐文章于 2025-06-10 10:10:31 发布 · 846 阅读

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#算法 #数位DP

本文介绍了数位动态规划的基本概念，强调了其在解决特定类型问题时的时间效率优势。通过分离数位、记忆化搜索或递推的方法，详细阐述了如何处理数位上的动态规划问题，并给出了具体实现步骤和注意事项，包括记忆数组的初始化、处理多组数据时的优化等。文章以三个例题为例，展示了数位DP在不同场景的应用，如排除特定数字、计算权值和比较二进制位数。

简介

数位DP是一类常考的题，虽然现实意义不算很大（大家时间因为种种原因特别多，暴力即可；仅个人看法），但是分数是很重要的。这类题目一般都不会隐藏自己的尾巴，非超级无敌变态爆炸难的题应该一眼就能看出算法标签。普遍的题目格式为：在 $\left [ l,r \right ]$ 中满足条件的正整数的个数。

算法

数位上的动态规划即是将每个数位设置一个状态，这样能有效的降低时间消耗。例如，求区间 $\left[1,k \right ]\left ( 10^{10}\leq k < 10^{11} \right )$ 中符合条件的正整数的个数。忽略判断所需的过程，在 $O\left(n \right )$ 的复杂度下我们需枚举 $10^{11}$ 次。但若采用数位dp递推或记忆化搜索的方式，我们仅需操作100次（10位数，每个数位10种情况），时间复杂度仅为 $O\left ( log_{10}n \right )$ 。这样看来是很优秀的，时间需求是极小的。但 $l$ 和 $r$ 并不总形如