poj 3311 Hie with the Pie（状态压缩dp）

旅行商问题。在《挑战程序设计竞赛》上有讲解。

抄书：

所有可能的路线共$(n-1)!$种，这是一个非常大的值，即使在本题中n已经很小了，仍然无法试遍每一种情况。对于这个问题，我们可以使用dp来解决

假设现在已经访问过的顶点的集合(起点0当作还未访问过的顶点)为S，当前所在的顶点为v，用 dp[S][v] 表示从v出发访问剩余的所有顶点，最终回到顶点0的路径的权值总和的最小值。由v出发可以移动到任意的一个节点$u\not\in S$，因此有如下递推式

$dp[V][0]=0$
$dp[S][v]=min\{ dp\left[ S \bigcup \{u \} \right] \left[ u\right] + d(v,u)|u\not\in S\}$

我们只要按照这个递推式计算就可以了。由于在这个递推式中，有一个下标是集合而不是普通的整数，因此需要稍加处理。我们可以把每一个元素的选取与否对应到一个二进制位里，从而把状态压缩成一个大整数。

记忆化搜索

#include <stdio.h>
#include <string.h>

const int MAXN = 11;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dis[MAXN][MAXN];
int dp[1<<MAXN][MAXN];
int n;

int min(int a, int b)
{
    return a>b?b:a;
}
//已经访问过的节点集合为S，当前位置为v
int rec(int S, int v)
{
    if(dp[S][v] >= 0)
        return dp[S][v];
    //已经访问过所有节点并回到0号节点
    if(S==((1<<n)-1) && v == 0)
        return dp[S][v] = 0;

    int res = INF;
    for(int u = 0; u < n; ++u)
    {
        if(!((S>>u) & 1))
            //下一步移动到顶点u
            res = min(res,rec(S|(1<<u),u)+dis[v][u]);
    }
    return dp[S][v] = res;
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n) && n)
    {
        n++;
        memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                scanf("%d",&dis[i][j]);

        for(int k = 0; k < n; ++k)
            for(int i = 0; i < n; ++i)
                for(int j = 0; j < n; ++j)
                    if(dis[i][j] > dis[i][k]+dis[k][j])
                        dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j];

        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        printf("%d\n",rec(0,0));
    }
    return 0;
}

递推

#include <stdio.h>
#include <string.h>

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 11;
int dis[MAXN][MAXN];
int dp[1<<MAXN][MAXN];

int min(int a, int b)
{
    return a<b?a:b;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n) && n)
    {
        n++;
        memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            for(int j = 0; j < n; ++j)
                scanf("%d",&dis[i][j]);

        for(int k = 0; k < n; ++k)
            for(int i = 0; i < n; ++i)
                for(int j = 0; j < n; ++j)
                    if(dis[i][j] > dis[i][k]+dis[k][j])
                        dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j];
        memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
        dp[(1<<n)-1][0] = 0;
        for(int S = (1<<n)-2; S >= 0; --S)
            for(int v = 0; v < n; ++v)
                for(int u = 0; u < n; ++u)
                    if(!(S>>u&1))
                        dp[S][v] = min(dp[S][v],dp[S|1<<u][u]+dis[v][u]);
        printf("%d\n",dp[0][0]);
    }
    return 0;
}