目标跟踪算法学习笔记之一：KCF

版权声明：本文为博主原创文章，转载请注明出处。

简述

　　KCF（High-speed tracking with kernelized correlation filters）算法已经算是一篇非常经典的文章了，而且也被各路大神分析得很详尽了。我打算写这篇分析有两个原因：
1.相关滤波器CF（correlation filter）值得学习，值得深入探讨，可以被实际工程所用。
2.我想做个总结，主要想把相关滤波器有关的算法理一下。
好，废话不多说，下面开始，部分内容参考几位博主的文章和作者主页，如下：

http://blog.youkuaiyun.com/shenxiaolu1984/article/details/50905283
KCF高速跟踪详解：
http://blog.youkuaiyun.com/mhz9123/article/details/51670802
论文作者主页：
http://www.robots.ox.ac.uk/~joao/#

算法描述

　　算法把跟踪问题抽象为一个线性回归模型的求解，设代表目标图像的输入为z，权重w,输出为$f(w) = w^T{x}$,目的就是找到f,能够最小化样本$x_i$经分类器模型输出$f(x_i)$和期望回归值$y_i$的最小均方差的解:

$$min_w\sum (f(x_i)-y_i))^2+\lambda\left \| w \right \|^2 \tag{1}$$
其中 $\lambda$是防过拟合的正则化参数。论文描述上述问题的解
$$w=(X^HX+\lambda I)^{-1}X^Hy\tag{2}$$
其中 $X^H=(X^*)^T$，*表示复共轭，T表示转置，X的每一行是 $x_i$,上述解的推导有兴趣的可以去了解下。由于该式子不易求解，运算复杂是O(n^2),故作者采用了一个巧妙方法——循环矩阵。

循环矩阵

　　先给出循环矩阵的作用：根据循环矩阵能够被离散傅里叶矩阵对角化，使得矩阵求逆转换为特征值求逆的性质；能够将问题(2)转换到频域进行运算，应用离散傅里叶变换(DFT)提高运算速度，然后再将解逆变换回空域从而得到响应最大的解$y_{max}$。
这就是本算法的最重要的地方，我们也可以类比MOSSE算法中的相关滤波器的作用，两者是相通的。
循环矩阵X的构造是每一行由基样本(base sample)x的循环偏移向量组成，如下：

如果用图像形象化描述就是

中间的基样本图像分别左移和右移得到其余的样本，而且循环矩阵所具备的性质正是帮助对式2求解的关键： 1.循环矩阵C(x)可以被DFT矩阵F对角化： $$X=Fdiag(\hat{x})F^H\tag{3}$$ 其中 $\hat{x}$是 $x$的傅里叶变换， $F$是离散傅里叶矩阵。 DFT矩阵：

F=1K