Eddy's爱好 HDU - 2204（容斥原理 莫比乌斯函数）

题意：寻找1 ～ N中能表示成$M^K$，其中M和K都是正整数并且K>1的这样的数的个数。

思路： N很大，枚举N是不可能了。但它既然表示成$M^K$，我们就枚举K就好了。因为除了1，M最小也就取到2，而2的64次方就已经超过N的范围了。所以K最大就取到64。至于具体怎么枚举，我们可以让K从2循环到64，当K=2时，满足情况的M有1，2，… ，$\sqrt{N}$，一共就这$\sqrt{N}$个，因为再大的话乘方之后就大于N了。当K=3时，满足情况的M有1，2，……，$\sqrt[3]{N}$，一共有$\sqrt[3]{N}$个。同理，K等于4，5，… ，64时，满足情况的M分别就有$\sqrt[4]{N}，\sqrt[5]{N}，\dots ，\sqrt[64]{N}$个。但我们要注意，当我们把K=2的情况都加上之后，K=4的情况就没必要再加了。因为$\sqrt[4]{N}=\sqrt[2]{\sqrt[2]{N}}$。同理，当K=6的时候，$\sqrt[6]{N}=\sqrt[2]{\sqrt[3]{N}}=\sqrt[3]{\sqrt[2]{N}}$，所以我们找K=2，K=3时相当于都把K=6的情况多找了一遍，因此我们要把这种情况减掉。所以最后的答案就是$\sqrt[2]{N}+\sqrt[3]{N}+0\ast \sqrt[4]{N}+\sqrt[5]{N}-\sqrt[6]{N}\dots$，看它们的系数是不是很熟悉？没错，就是莫比乌斯函数的相反数，因此我们可以先离线把前64位的莫比乌斯函数筛出来，然后用它的相反数乘上每一项的个数加起来就是最后的答案了。不过因为每一次都算上了1，我们可以先将答案初始化成1，就是先把1加上，之后的每一项就都把1减掉就可以了。刚开始的时候我没考虑到1，就直接算了，巧合的是结果都比答案大1，我直接用我算的结果减1交上，还真对了。但我没想明白为什么，希望路过的大佬可以帮帮我，QAQ

下面是我的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long int ll;

const int maxn = 199;

ll mu[maxn + 10], prime[maxn + 10];
bool vis[maxn + 10];

void Moblus()
{
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < maxn; ++ i)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++ prime[0]] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] < maxn; ++ j)
		{
			vis[i * prime[j]] = true;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				mu[i * prime[j]] = 0;
				break;
			}
			else
			{
				mu[i * prime[j]] = -mu[i];
			}
		}
	}
}

int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	ll n, ans;
	Moblus();
	while(cin >> n)
	{	
		ans = 1;
		for(ll i = 2; i <= 64; ++ i)
		{
			ans -= mu[i] * ((ll)pow(n, 1.0 / i) - 1);
		}
		cout << ans << endl;
//		ans = 0;            //这是我第一次写的，也AC了。
//		for(int i = 2; i <= 64; ++ i)
//		{
//			ans -= (mu[i] * (ll)pow(n, 1.0 / i));
//		}
//		cout << ans - 1 << endl;
	}
	return 0;
}