数据结构进阶——树状数组_c++树状数组1-优快云博客

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基本概念

基本概念

树状数组 (Fenwick Tree / Binary Indexed Tree)是一种高效的数据结构，主要用于解决以下问题：

动态维护前缀和
支持单点更新和前缀查询
某些情况下可以扩展为支持区间更新和区间查询

基本特性

时间复杂度：
- 单点更新：O(log n)
- 前缀查询：O(log n)
空间复杂度：O(n)

基本操作实现

关键操作（lowbit）

int lowbit(int x){
	return x&-x;
}

单点更新（Update）

void update(int x,int data){
	while(x<=n){
		tree[x]+=data;
		x+=lowbit(x);
	}
}

前缀查询（Query）

long long query(int x){
	long long res=0;
	while(x>=1){
		res+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}

应用模板

P3374 【模板】树状数组 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某一个数加上 x

求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含两个正整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来 m 行每行包含 3 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第 x 个数加上 k

2 x y 含义：输出区间 [x,y] 内每个数的和

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

输入输出样例

输入 #1 输出 #1

5 5 14
1 5 4 2 3 16
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

说明/提示

【数据范围】

对于 30% 的数据，1≤n≤8，1≤m≤10；
对于 70% 的数据，1≤n,m≤104；
对于 100% 的数据，1≤n,m≤5×105。

数据保证对于任意时刻，a 的任意子区间（包括长度为 1 和 n 的子区间）和均在 [−231,231) 范围内。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[500005],tree[500005],n,m;
int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
void update(int x,int data){
	while(x<=n){
		tree[x]+=data;
		x+=lowbit(x);
	}
}
long long query(int x){
	long long res=0;
	while(x>=1){
		res+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		update(i,a[i]);
	}
	while(m--){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		if(a==1) update(b,c);
		else cout<<query(c)-query(b-1)<<endl;
	}
	return 0;
}

P3368 【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某区间每一个数加上 x；

求出某一个数的值。

输入格式

第一行包含两个整数 N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 N 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来 M 行每行包含 2 或 4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 1：格式：1 x y k 含义：将区间 [x,y] 内每个数加上 k；

操作 2：格式：2 x 含义：输出第 x 个数的值。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

输入输出样例

输入 #1复制

2 2 3
1 1
2 2
1 2

输出 #1复制

1
1
4

数据规模与约定

对于 30% 的数据：N≤8，M≤10；

对于 70% 的数据：N≤10000，M≤10000；

对于 100% 的数据：1≤N,M≤500000，1≤x,y≤n，保证任意时刻序列中任意元素的绝对值都不大于 230。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll arr[500005],n,m,temp;
inline int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
inline void update(int x,int data){
	while(x<=n){
		arr[x]+=data;
		x+=lowbit(x);
	}
}
inline ll ask(int x){
	ll res=0;
	while(x>=1){
		res+=arr[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>temp;
		update(i,temp);
		update(i+1,-temp);
	}
	while(m--){
		int a,b,c,d;
		cin>>a;
		if(a==1){
			cin>>b>>c>>d;
			update(b,d);
			update(c+1,-d);
		}
		else{
			cin>>b;
			cout<<ask(b)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}