Codeforces #362(Div.2)-> E.PLEASE（快速幂+费马小定理）

最新推荐文章于 2019-10-05 10:15:36 发布

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本文介绍了一道关于三个杯子中硬币位置概率变化的经典数论题。通过递推公式求解硬币经过多次操作后仍位于中间杯子的概率，并利用快速幂和费马小定理进行高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门：点击打开链接（数论）

题意:

三个杯子，硬币一开始在中间的杯子里，每次操作可能是左边和中间或右边和中间交换，问n次操作后，硬币在中间的概率

思路:

设 f(n) 是n次操作后硬币在中间的概率，则很明显， f(n)=1−f(n−1)2
展开化简得到可以得到 anbn 的形式易得 bn=2n−1

a n = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 n - 1 + 1 3 2 n - 1 - 1 3 n 为 偶 数, n 为 奇 数

显然

2n−1+1 和

2n−1

互质，所以不用约分了，幂的操作可以用快速幂来处理，再用费马小定理转除为乘，这题就搞定了

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long ll;
ll num;
ll pow_mod(ll x, ll n){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main (){
    int n;
    cin >>n;
    ll b = 2;
    ll flag = -1;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
        scanf("%I64d",&num);
        b = pow_mod(b,num);
        if(num %2 == 0) flag = 1;
    }
    b = b*pow_mod(2LL,mod-2)%mod; // b = 2^(n-1)=2^n/2
    ll a = (b+flag+mod)%mod*pow_mod(3LL,mod-2)%mod; //a = (2^(n-1) -or+ 1) / 3
    printf("%I64d/%I64d",a,b);
    return 0;
}

注：一道经典的数论题，费马小定理求逆元就用这道题来练手了
另附：费马小定理求逆元