PageRank模型中的参数与其敏感性分析

最新推荐文章于 2024-10-17 09:30:00 发布

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分类专栏： SEO 文章标签： PageRank 谷歌矩阵链接农场

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/gugugujiawei/article/details/45644339

本文探讨了PageRank模型中的α因子、超链接矩阵H和跳转矩阵E的敏感性。α因子对PageRank向量的敏感性随a值增大而增加，尤其是当a接近1时，对网络结构变化极为敏感。超链接矩阵H的改变会影响PageRank，重要页面的链接权重改变对敏感性影响更大。跳转矩阵E的个性化向量vT的变动，特别是在a→1时，PageRank对vT的变化更加敏感。

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附注：本博文内容对应书本5、6章

一、 $\alpha$ 因子

上一篇博客中引入参数a来产生谷歌矩阵：

这里写图片描述

当a→1时，幂法所需要的期望迭代次数急剧上升。如下表所示：
这里写图片描述

当a→1时，由跳转矩阵这里写图片描述所带来的人为成分会减少，但计算时间却增加了。常数a不仅仅控制了PageRank方法的收敛，还影响了计算得到的PageRank向量的敏感性。

敏感性分析：

可以形象地用这里写图片描述来表示 $\pi^T$ 中的元素如何随 $\alpha$ 变化的情况的一个近似，虽并未精确，但对其分析可以揭示出若干重要信息。

这里先给出三个定理：
1.设PageRank向量由下式给出

式中，Di(a)为I-G(a)中的第i个n-1阶主子式。由于每个主子式Di(a)>0都是I-G(a)中元素值的乘积之和，因此这里写图片描述中的每个元素在(0,1)区间都是a的一个可微函数。证明可微
下面定理给出导函数向量中单个函数取值的(1 - 范数)一个上界，以及这些元素之和的一个上界。

2.若这里写图片描述为PageRank向量，则对每个j=1,2,···,n，有

且

由定理2可知，对于较小的a值，确保了PageRank不会过于敏感，但随着a→0，值将趋向于无穷大，因此这个上界将变得越来越没有价值。但是，较大的a值对万维网真实链接结构赋予了更大的权重，而较小的a值则增加了人为制造的概率向量 $v^T$ 的影响。因此，较大的a值比较符合我们的想法，下面定理3进一步确定PageRank对较大的a值的敏感性。

3.若 $\pi^T(a)$ 是谷歌矩阵这里写图片描述
所对应的PageRank向量，则