系统结构考点之哈夫曼码长

复习下吧。4月份考试延迟了，但总归还是要考的，这些都是在补4月份没有复习到的部分。工作越忙，越能体会到复盘重要性。时间上挤挤，少一些内耗，多少都会有所收获。

如题：2021年4月

分析

这两问，相对来说还是比较简单的。

基本知识

定长码

操作码的位数是固定的。题目说是8条指令，那么用$lo{g}_{2}8=3$位就可以表示这8条指令，那么码长就是3位。

操作码信息源熵

书中给出的定义为：信息源所含的平均信息量。也就是码长的最小理论值。公式为：$H=-{\sum }_{i=1}^n{p}_i\ast lo{g}_2{p}_i$//pi表示的就是使用频度。题目中H=-(0.2*log_2 0.2+0.3*log_2 0.3+0.05*log_2 0.05+0.12*log_2 0.12+0.15*log_2 0.15+0.08*log_2 0.08+0.04*log_2 0.04+0.06*log_2 0.06)=-(-0.0464-0.521-0.216-0.367-0.41-0.291-0.186-0.244)=2.281

信息冗余率

冗余的码长占的实际平均码长的比。也就是$\frac{实际平均码长-H}{实际平均码长}=\frac{3-2.281}{3}=0.2396=24\%$

采用哈夫曼树的码长，本题考点，第一问

构造哈夫曼树的话，就是先排序，按照从小到大选两个，然后求和，从队列中删除这两个值，将它们的和插入到队列中，再选两个最小的。

容易错的地方就是将产生的中间和插入到队列后，没有把它比较最小两个值。

画出来，基本上就是这样的子的，方框表示的就是实际的指令使用频度,然后求其平均码长 $H=\sum_{i=1}^n p_i*l_i$//li：表示的就是指令的编码长度，如0.3，从1数要走两步才能到0.3，所以0.3的码长为2.

0.04	0.05	0.06	0.08	0.12	0.15	0.2	0.3
4	4	4	4	3	3	2	2

平均码长=4*(0.04+0.05+0.06+0.08)+3*(0.12+0.15)+2*(0.2+0.3)=0.92+0.81+1=2.73，这个是哈夫曼理论值。

从这里可以看出，采用哈夫曼编码后，信息冗余率为：$\frac{实际平均码长-H}{实际平均码长}=\frac{2.73-2.281}{2.73}=0.1644=16$，可见，哈夫曼提高了信息有效访问率。对于只有8条指令来说，哈夫曼有3种不同码长，码长种类还是比较多的，实际使用不太适用；所以出来扩展操作码编码。

为什么平均码长是和频度相关？

并不是想像中的把所有的码长加起来再除以个数。而是与使用频度*码长，这个就要理解什么是使用频度了，其实就是这个指令出现的概率。这个可以说是更科学的，如果只是把码长加起来除以个数，那么当后面再出现别的指令时，这个平均码长还是要变的。而知道概率会平均码长就确定了。

扩展操作码编码，第二问考点

先说下扩展操作码编码原理：如何减少不同码长的种类呢？可以将使用频度高的前几种指令编为一组，使用同一种码长，然后在此码长的基础上，码长留出扩展位（1位或几位）表示扩展，扩展后的位表示使用频度低的指令。

从题意已知条件可知，采用两种码长，使得操作码平均码长最短，并求出平均码长。从使用频度来说，哈夫曼码长前四种使用频度为0.77，前三种使用频度为0.65？那么如何编码呢？如果哈夫曼前三种频度的指令编为一种码长的话，需要$lo{g}_{2}3=2$,后面五种指令编为一种码长，需要$lo{g}_{2}5=3$,也就是说扩展码为3位；所以后面5条指令需要码长为3+2位编码，所以平均码长为=2*0.65+5*0.35=3.05。

如果取前四种频度指令为一种码长，需要2位，后面四种指令，也是需要2位，所以后面四条指令需要4位编码，但没有考虑扩展标志位，扩展标志位一般是取最后最短编码的最后一个数的方式，那么这样的方式的话，最后一个数表示的实际的指令，就无法作为扩展标志数了，所以这种方式不可行；只能取上面的方式。