51Nod 1138 编辑距离

1183 编辑距离
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编辑距离，又称Levenshtein距离（也叫做Edit Distance），是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。
例如将kitten一字转成sitting：
sitten （k->s）
sittin （e->i）
sitting （->g）
所以kitten和sitting的编辑距离是3。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。
给出两个字符串a,b，求a和b的编辑距离。
Input

第1行：字符串a(a的长度 <= 1000)。
第2行：字符串b(b的长度 <= 1000)。

Output

输出a和b的编辑距离

Input示例

kitten
sitting

Output示例

3

题意：，，，，，

思路：动态规划。。。可根据自然算法（我称为表格法）来算；

自然语言表达

比如要计算cafe和coffee的编辑距离。cafe→caffe→coffe→coffee

先创建一个6×8的表（cafe长度为4，coffee长度为6，各加2）

（1）：

		c	o	f	f	e	e
c
a
f
e						表	1

接着，在如下位置填入数字（表2）：

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1
a	2
f	3
e	4					表	2

从3,3格开始，开始计算。取以下三个值的最小值：

• 如果最上方的字符等于最左方的字符，则为左上方的数字。否则为左上方的数字+1。（对于3,3来说为0）
• 左方数字+1（对于3,3格来说为2）
• 上方数字+1（对于3,3格来说为2）

因此为格3,3为0（表3）

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0
a	2
f	3
e	4

循环操作，推出下表

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0	1	2	3	4	5
a	2	1	1	2	3	4	5
f	3	2	2	1	2	3	4
e	4	3	3	2	2	2	3

取右下角，得编辑距离为3。

C/C++伪代码

动态规划经常被用来作为这个问题的解决手段之一。

整数 Levenshtein距离(字符串 str1[1..m], 字符串 str2[1..n])

//声明变量， d[i , j]用于记录str1[1...i]与str2[1..j]的Levenshtein距离

int d[0..m, 0..n]

//初始化

for i from 0 to m

d[i, 0] := i

for j from 0 to n

d[0, j] := j

//用动态规划方法计算Levenshtein距离

for i from 1 to m

for j from 1 to n

{

//计算替换操作的代价，如果两个字符相同，则替换操作代价为0，否则为1

if str1[i]== str2[j]then cost := 0

else cost := 1

//d[i,j]的Levenshtein距离，可以有

d[i, j] := minimum(

d[i-1, j] + 1//在str1上i位置删除 字符str1[i]（或者在str2上i位置插入字符str1[i]）

d[i, j-1] + 1//在str1上j位置插入字符str2[j] ^[1]  （或者在str2上j位置删除字符str2[j]）

d[i-1, j-1] + cost // 替换操作

)

}

//返回d[m, n]

return d[m, n]

以上均为读者百度到的，嘿嘿。。。。
由此我们可以得到方程的初值：dp[i][0]=i;dp[0][j]=j;
状态转移方程为：dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+(a[i-1]==b[j-1]?0:1),(min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1));
下面附上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[1005],b[1005];
int dp[1005][1005];
int main()
{
	while(~scanf("%s%s",a,b))
	{
		int l1=strlen(a);
		int l2=strlen(b);
		for(int i=0;i<=l1;i++)
			dp[i][0]=i;
		for(int i=0;i<=l2;i++)
			dp[0][i]=i;
		for(int i=1;i<=l1;i++)
		{
			for(int j=1;j<=l2;j++)
			{
				dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+1;
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+(a[i-1]==b[j-1]?0:1));
			}
		} 
		printf("%d\n",dp[l1][l2]);
	}
	return 0;
}