26、量子有限自动机：现代导论（上）

量子有限自动机：现代导论（上）

1. 旋转酉算子基本概念

在量子系统中，酉算子作用于量子态时，其表现形式要么是反射，要么是旋转。设逆时针旋转角度为 $\theta$ 的旋转酉算子记为 $U_{\theta}$ ，其矩阵形式为：
[
U_{\theta} =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
]
也可以用态矢表示为：
[
U_{\theta}|q_1\rangle \to \cos \theta|q_1\rangle + \sin \theta|q_2\rangle
]
[
U_{\theta}|q_2\rangle \to -\sin \theta|q_1\rangle + \cos \theta|q_2\rangle
]
这里 $U_{\theta}$ 的 $(i, j)$ 元素表示从状态 $q_j$ 到状态 $q_i$ 的跃迁幅度，其中 $1 \leq i, j \leq 2$。

当 $\theta$ 是 $\pi$ 的有理倍数时，$U_{\theta}$ 是周期性的，重复应用该算子会使量子态在单位圆上访问有限个点，并在有限步后回到同一点；而当 $\theta$ 是 $\pi$ 的无理倍数时，$U_{\theta}$ 是非周期性的且在单位圆上是稠密的，即量子态永远不会回到单位圆上的同一位置。

2. 带切点的QFA识别更多计数字语言

定义一个实时量子有限自动