13、五状态五边形网格中的弱通用元胞自动机

五状态五边形网格中的弱通用元胞自动机

在计算机科学领域，元胞自动机的研究一直是一个重要的方向。本文聚焦于在五边形网格上构建一种弱通用元胞自动机，且该自动机仅需五种状态，这一成果相较于之前的九状态结果有了显著提升。

1. 通用与弱通用的概念

在深入探讨五状态弱通用元胞自动机之前，我们需要明确通用和弱通用的定义。
- 通用的定义 ：设 $K$ 为一类过程。若存在一个有限字母表 $A$，以及一个编码函数 $c$，能将 $K$ 中的元素和数据编码为 $A$ 上的单词，使得对于 $K$ 中的任意元素 $\chi$ 和其数据 $d$，通用元素 $U$ 对 $(c(\chi), c(d))$ 进行计算的终止条件与 $\chi$ 对 $d$ 进行计算的终止条件相同，并且在终止时 $U(c(\chi), c(d)) = c(\chi(d))$，则称 $U$ 模拟 $\chi$，$K$ 具有通用性。这与标准的通用图灵机定义一致。
- 弱通用的定义 ：当通用定义中的某些条件不满足时，就产生了弱通用的概念。例如，当 $U$ 对 $c(\chi)$ 和 $c(d)$ 进行计算时，结果不是 $c(d)$ 而是另一种编码 $e(d)$；或者数据 $d$ 在某种意义上是无限的，此时要求 $c(d)$ 是 $u^{ }wv^{ }$ 的形式，其中 $u$、$v$ 和 $w$ 是 $A$ 上的单词，$u$ 和 $v$ 为周期模式。在二维空间中，我们还要求在足够大的圆盘外部满足周期性条件，且可能涉及两种不同的周期模式。

2. 模拟场景的基本特征

我们采用铁路电路模型来模拟寄存器机，该电路主