7、多波孤子自动机与分次幺半群上的幂级数研究

多波孤子自动机与分次幺半群上的幂级数研究

多波孤子自动机的特性与问题

在多波孤子自动机的研究中，有几个重要的特性和相关问题值得探讨。

首先，存在一个依赖于图 (G) 的 (k \in N)，使得对于所有 (j \in N)，有 (AB\leq k(G) = AB\leq k + j(G))。同时，对于长度大于 1 的脉冲，某些观察结果通常并不成立。

下面通过一个例子来理解这些特性。设 (G) 为特定的孤子图，在节点 (j) 处向右的路径对于单个孤子是不可穿透的，但脉冲 ((1, 1)\parallel1(1, 1)^{\perp}) 可以使用该路径，并且这会改变两个循环上的权重。自动机 (AB_1(G)) 有两个状态，而 (AB\leq 2(G)) 有四个状态，前者的转移幺半群是 (S_2)，后者是 (S_2 \times S_2)。

在单孤子模型中，所有输入都会导致对合变换，因此孤子自动机是强连通的，并且转移幺半群是一个群。对于多孤子模型，虽然推测可能也有类似性质，但可能需要对脉冲进行某种反转操作。

目前，多孤子效应的建模比预期复杂得多。该模型最初受物理或化学过程启发，但也可视为具有复杂流量的网络模型，如铁路系统，其中许多列车几乎独立运行，仅由局部信号控制。

然而，仍有许多自然问题未得到解答，例如：
1. 需要明确确定性和强确定性之间的区别。
2. 脉冲的时间或长度界限是多少，使得添加超过这些界限的脉冲不会改变自动机的转移幺半群？
3. 脉冲引起的变换是否是对合的？
4. 脉冲是否会导致重置？
5. 匹配理论是否有帮助？

以下是一个简单的表格总结单孤