10、有限差分法与麦克斯韦方程的离散化求解

有限差分法与麦克斯韦方程的离散化求解

1. 有限差分法求解多变量问题

1.1 多变量问题的求解步骤

在求解多变量的耦合微分方程时，可采用以下步骤：
1. 对于方程 (3.69)，求解出 $g$ 的表达式：
- $g = U^{-1}(b_1 - D_x^f f)$ (3.75)
2. 将 $g$ 的表达式代入方程 (3.70)，得到仅关于 $f$ 的单一方程：
- $D_x^g U^{-1}(b_1 - D_x^f f)+Vf = b_2$ (3.76)
3. 将方程 (3.76) 转化为标准形式 $Af = b$ 并求解 $f$：
- $f = A^{-1}b$ (3.77)
- 其中 $A = V - D_x^g U^{-1}D_x^f$，$b = b_2 - D_x^g U^{-1}b_1$ (3.78)
4. 已知 $f$ 的解后，使用方程 (3.75) 求出 $g$ 的解。

1.2 具体示例：求解一组耦合微分方程

假设要在区间 $0\leq x\leq10$ 内求解以下耦合微分方程组：
$\frac{df(x)}{dx}+3g(x)=0$ (3.79)
$\frac{dg(x)}{dx}-2f(x)=0$ (3.80)
且 $f(0)=10$，$f(10)=1$ (3.81)

具体求解步骤如下：
1. 将微分方程写成矩阵形式 ：
- 根据导数矩阵的概念，方程 (3.79) 和 (3.80) 可转化为：
- $D_x^f f + 3g = 0$ (3