9、有限差分法：原理、应用与实现

有限差分法：原理、应用与实现

1. 有限差分法的步骤与近似

有限差分法在数值计算中有着重要的应用。在某些步骤中，有如下的系数计算：
- (a_0 = -\frac{1}{16}f_1 + \frac{9}{16}f_2 + \frac{9}{16}f_3 - \frac{1}{16}f_4)
- (a_1 = \frac{1}{24\Delta x}f_1 - \frac{27}{24\Delta x}f_2 + \frac{27}{24\Delta x}f_3 - \frac{1}{24\Delta x}f_4)
- (a_2 = \frac{1}{4\Delta x^2}f_1 - \frac{1}{4\Delta x^2}f_2 - \frac{1}{4\Delta x^2}f_3 + \frac{1}{4\Delta x^2}f_4)
- (a_3 = -\frac{1}{6\Delta x^3}f_1 + \frac{3}{6\Delta x^3}f_2 - \frac{3}{6\Delta x^3}f_3 + \frac{1}{6\Delta x^3}f_4)

同时，还有一些函数值及导数的近似计算：
- (f_{2.5} \approx \frac{-f_4 + 9f_3 + 9f_2 - f_1}{16})
- (\frac{df_{2.5}}{dx} \approx \frac{-f_4 + 27f_3 - 27f_2 + f_1}{24\Delta x})
- (\frac{d^2f_{2.5}}{dx^2} \approx \frac{f_4 - f_3 - f_2 + f_1}{2\Delta x^2}) <