本文详细介绍了二三树的基本概念，通过添加元素的过程演示如何转化为红黑树，重点讲解了红黑树的节点表示、颜色规则和旋转操作，包括左旋、右旋和颜色反转。并给出了红黑树的代码实现，以及添加元素的时间复杂度分析。
了解红黑树前，先认识一下二三树。
二三树:
普通的二叉树，一个节点存一个元素，有两个孩子，称为二树。 二三树中，允许一个节点存一个或两个元素，有两个或三个孩子。
添加元素时，会与前面节点融合，当超过三个孩子时，向上融合。看看添加过程：
添加42：
添加37，与前面节点融合，成为三树：
添加12，与前面节点融合，成为四树，不满足二三树，中位数向上与父亲融合，成为新的二三树：
添加18：
添加6：左孩子不满足，12向上与父亲节点融合
添加11：
添加5： 左叶子节点不满足，6向上与父亲节点融合。 融合后，父亲节点不满足，中位数12再向上融合：
这就是二三树添加元素的过程。
在二三树中，节点最多可以有两个元素，三个孩子。 红黑树是一颗二分搜索树，但是可以等价于二三树。怎么表示呢？
红黑树：
把二三树中多元素的节点，一个用红色表示，一个用黑色表示，中间用红线连起来，就成了红黑树。
等价于下图：
所以，在二三树节点中如果是一个元素，就对应红黑树的一个黑色节点； 如果是两个元素，就对应红黑树中一对红黑节点的关系：
那究竟谁是红色谁是黑色呢？ 二三树中新添加的节点，需要向老节点融合在一起；对应红黑树中可以理解为 红色向黑色融合。 所以新添加的节点为红色（换句话说，红色就代表要向父亲节点融合）。 另外红黑树要求，红色节点要左倾斜（作为左孩子），如果新加的元素成为了当前节点的右孩子，需要对当前节点左旋转，如下：
先添加37，再添加42。 然后对37左旋转，最终如右图：
特别强调：为什么红色节点要左倾？ 其实，实现红黑树的方式有很多，这里就是基于二三树，实现的左倾红黑树， 所以需要满足红色节点左倾的性质。
红黑树定义：
红黑树几个基本操作：
左旋：当节点左孩子为黑色（null也代表黑色），右孩子为红色， 不足满红色节点左倾斜。
旋转后，新的根节点颜色替换为原来根节点的颜色。 原来的根节点变成了孩子，需要变成红色，代表与新的根节点融合（因为要保持原二三树中两个元素融合在一起）。
右旋：当左孩子是红色，左孩子的左孩子也是红色，不满足第4点定义。另外红色代表向上融合在一起，在二三树中就相当于有三个元素融合在一个节点了，这时候要对42节点右旋，把元素变成独立节点的样子，右旋后新的根节点37颜色保持为老的根节点47的黑色。
但是，仅仅右旋，也只是三个元素已经有独立节点的样子了，还不能真正代表二三树中的独立节点，除非全部是黑色，但这时候12的颜色还是红色，所以他们依旧还是二三树中融合在一起的元素，既然融合在一起，42节点就要变为红色，才能代表与新的父亲节点37融合。
也就是说，右旋的操作，除了旋转外，还需要把新的根节点替换为原根节点的颜色，原根节点的颜色变为红色代表与新根节点融合。
颜色反转：左孩子是红色，右孩子也是红色（右旋之后就会这样）。 红色代表向上融合在一起，在二三树中就相当于有三个元素在一个节点了，所以要变成三个独立元素节点（三个都是黑色），但是父亲节点要继续往上融合，所以父亲节点变为红色，两个孩子变为黑色。
红黑树添加元素的过程：
代码实现：
public class RBTree<K extends Comparable<K>, V> {
private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public boolean color;
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
color = RED;
}
}
private Node root;
private int size;
public RBTree() {
root = null;
size = 0;
}
public int getSize() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 判断节点node的颜色
private boolean isRed(Node node) {
if (node == null) {
return BLACK;
}
return node.color;
}
// node x
// / \ 左旋转 / \
// T1 x ---------> node T3
// / \ / \
// T2 T3 T1 T2
private Node leftRotate(Node node) {
Node x = node.right;
// 左旋转
node.right = x.left;
x.left = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// node x
// / \ 右旋转 / \
// x T2 -------> y node
// / \ / \
// y T1 T1 T2
private Node rightRotate(Node node) {
Node x = node.left;
// 右旋转
node.left = x.right;
x.right = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// 颜色翻转
private void flipColors(Node node) {
node.color = RED;
node.left.color = BLACK;
node.right.color = BLACK;
}
// 向红黑树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
root.color = BLACK; // 最终根节点为黑色节点
}
// 向以node为根的红黑树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后红黑树的根
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value); // 默认插入红色节点
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else // key.compareTo(node.key) == 0
{
node.value = value;
}
if (isRed(node.right) && !isRed(node.left)) {
node = leftRotate(node);
}
if (isRed(node.left) && isRed(node.left.left)) {
node = rightRotate(node);
}
if (isRed(node.left) && isRed(node.right)) {
flipColors(node);
}
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key) {
if (node == null) {
return null;
}
if (key.equals(node.key)) {
return node;
} else if (key.compareTo(node.key) < 0) {
return getNode(node.left, key);
} else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
{
return getNode(node.right, key);
}
}
public boolean contains(K key) {
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key) {
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue) {
Node node = getNode(root, key);
if (node == null) {
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
}
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node) {
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if (node != null) {
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null) {
return null;
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
return node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
return node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}上述实现中，没有对删除节点后，做自平衡的操作，原因是红黑树删除节点后的自平衡很复杂，本人还没有研究……
时间复杂度： 如果二三树中有n个节点，复杂度是logn。 如果每个节点都是三树（两个元素），也就是说红黑树中，每经过一个黑色节点，都要经过一个红色节点，红黑树的复杂度就是2logn。
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