强化学习中的马尔可夫决策过程

前言

我在学习Playing Atari with Deep Reinforcement Learning这篇论文时，文章中引用到了马尔可夫决策过程的相关概念，为此特意学习了马尔可夫决策过程的相关知识。

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马尔可夫过程(MP)的基本概念

状态遵循马尔可夫是指

$$\mathbb{P}[S_{t+1}|S_{t}]=\mathbb{P}[S_{t+1}|S_{t},\cdots,S_1]$$
既未来与过去无关只与现在有关
$\langle S,P \rangle$是马尔可夫过程是指S为有限状态集合并且遵循马尔可夫，P是状态转移概率矩阵 $$P_{s,s'}=\mathbb{P}[S_{t+1}=s'|S_{t}=s]$$

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马尔可夫奖赏过程(MRP)的基本概念

$\langle S,P,R,\gamma \rangle$是马尔可夫奖赏过程是指S为有限状态集合，P为状态转移矩阵, $R：S \longrightarrow \mathbb{R}$为奖赏函数$R_s=\mathbb{E}[R_{t+1}|S_t=s]$，$\gamma$是折扣率

MRP的价值函数

$R_t$定义为从状态$s_{t-1}$到达状态$s_t$所得到的奖励，那么时刻0所能得到的回报可以写为

$$G_0 = R_1 + \gamma R_2 + \gamma^2 R_3 + \cdots$$
t时刻在某一状态下的回报可以如下式子表示：
$$G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2R_{t+3} + \cdots$$

因为从某一状态到达另一个状态是根据一定的概率，所以真实的$G_t$的可能有很多种，所以定义在某一状态下的价值函数

$$v(s) = \mathbb{E}[G_t | S_t=s]$$
其中$S_t$表示在t时刻的状态

Bellman方程

$$\begin{aligned} v(s) &= \mathbb{E}[G_t | S_t=s] \\ &= \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2R_{t+3} + \cdots | S_t=s] \\ &= \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma (R_{t+2} + \gamma R_{t+3} + \cdots) | S_t=s] \\ &= \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma v(S_{t+1})| S_t=s] \\ &= R_s + \gamma \sum_{s'\in S}P_{s,s'}v(s') \end{aligned}$$
这个公式就是Bellman方程的基本形态，得到线性方程组
$$v=R+\gamma Pv$$
可以求得每个状态的价值。

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马尔可夫决策过程(MDP)的基本概念

马尔可夫决策过程由五个关键元素$\lbrace S, A,P,R,\gamma \rbrace$组成

$S$代表状态集合
$A$代表动作集合
$P$是三维概率矩阵

$$P^{a}_{s,s'}=\mathbb{P}[S_{t+1}=s'|A_t=a,S_t=s]$$
$R$是回报函数，$R:S \times A \rightarrow \Bbb R$，有时$R$与$A$无关，$R:S \rightarrow \Bbb R$

$$R^{a}_{s}=\mathbb{E}[R_{t+1}|A_t=a,S_t=s]$$
$\gamma$表示学习随着时间推移的折扣率

这里有确定的概率矩阵，所以也就给出了状态转移的模型，所以这里的MDP是基于模型的（Model-based），很多时候概率是不确定的，这就是不基于模型的（Model-free）

马尔可夫决策过程如下

$$s_0 \xrightarrow {a_0} s_1 \xrightarrow {a_1 }s_2 \xrightarrow {a_2} \cdots$$
状态$s_0$在动作$a_0$作用下根据概率分布$P_{{s_0}{a_0}}$到${s_1}$，然后执行动作$a_1 \cdots$，得到的回报如下
$$R(s_0 , a_0) + \gamma R(s_1,a_1) + {\gamma}^2R(s_2,a_2) + \cdots$$
为了方便解释，把$r_t$定义为从状态$s_{t-1}$执行行为$a_{t-1}$根据一定概率到达状态$s_t$所得到的奖励

策略

$$\pi(a|s)=\mathbb{P}[A_t=a|S_t=s]$$
策略是指在各个特定的状态下执行不同动作的概率分布
给定一个MDP$M=\langle S,A,P,R,\gamma \rangle$和一个策略$\pi$，那么$\langle S,P^{\pi} \rangle$是一个MP，$\langle S,P^{\pi},R^{\pi},\gamma \rangle$是一个MRP，其中
$$\begin{aligned} & P^{\pi}_{s,s'}=\sum_{a \in A}\pi(a|s)P^{a}_{s,s'} \\ & R^{\pi}_s=\sum_{a \in A}\pi(a|s)R^{a}_{s} \end{aligned}$$

MDP的价值函数

给定一个MDP$M=\langle S,A,P,R,\gamma \rangle$和一个策略$\pi$，因为$\langle S,P^{\pi},R^{\pi},\gamma \rangle$是一个MRP，所以可以求出这个MRP的价值函数

$$\begin{aligned} v_{\pi}(s) &=\mathbb{E}_{\pi}[G_t|S_t=s] \\ &=\mathbb{E}_{\pi}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi}(S_{t+1})|S_t=s] \end{aligned}$$

动作价值函数

考虑某个状态下不同动作的价值

$$\begin{aligned} q_{\pi}(s,a) &=\mathbb{E}_{\pi}[r_{t+1} + \gamma r_{t+2} + \gamma^2r_{t+3} + \cdots | A_t=a, S_t=s] \\ &=\mathbb{E}_{\pi}[G_t| A_t=a,S_t=s] \\ &=\mathbb{E}_{\pi}[R_{t+1} + \gamma q_{\pi}(S_{t+1},A_{t+1})|A_t=a,S_t=s] \end{aligned}$$

价值函数和动作价值函数的关系

$$\begin{equation} \begin{aligned} \because \space & v_{\pi}(s) = \sum_{a \in A}\pi(a|s)q_{\pi}(s,a) \\ & q_{\pi}(s,a) = R^{a}_{s} + \gamma \sum_{s' \in S}P^{a}_{s,s'}v_{\pi}(s') \\ \therefore \space & v_{\pi}(s) = \sum_{a \in A}\pi(a|s)\Big(R^{a}_{s} + \gamma \sum_{s' \in S}P^{a}_{s,s'}v_{\pi}(s') \Big) \\ & v_{\pi} = R^{\pi} + \gamma P^{\pi}v_{\pi} \\ & v_{\pi} = (1- \gamma P^{\pi})R^{\pi} \end{aligned} \end{equation}$$
所以在给定的策略下可以求出价值函数和动作价值函数

最优价值函数和最优动作价值函数

定义最优价值函数$v_*:S \longrightarrow \mathbb{R}$

$$v_{*}(s) = \max_{\pi}v_{\pi}(s)$$

定义最优动作价值函数$q_*:S \longrightarrow \mathbb{R}$

$$q_{*}(s,a) = \max_{\pi}q_{\pi}(s,a)$$

策略的偏序关系

$$\pi{'} \ge \pi \iff v_{\pi{'}}(s) \ge v_{\pi}(s), \forall s \in S$$

定理

对于任意一个MDP

• 存在一个最优策略$\pi_{*} 使得对于 \forall \pi，\pi_{*} \ge \pi$
• 所有的最优策略对应的价值函数就是最优价值函数 $$v_{\pi_{*}}(s) = v_{*}(s)$$
• 所有的最优策略对应的动作价值函数就是最优动作价值函数 $$q_{\pi_{*}}(s,a) = q_{*}(s,a)$$

根据这个定理，可以得到Bellman最优方程

$$\begin{aligned} & v_{*}(s)=\max_{a}q_{*}(s,a) \\ & q_{*}(s,a) = R^{a}_{s} + \gamma \sum_{s' \in S}P^{a}_{s,s'}v_{*}(s') \\ \end{aligned}$$

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策略迭代(Policy Iteration)

Policy Iteration的目的是通过迭代计算value function 价值函数的方式来使policy收敛到最优。
Policy Iteration本质上就是直接使用Bellman方程而得到的：

$$\begin{aligned} v_{k+1}(s) &= \mathbb{E}_{\pi}[R_{t+1}+\gamma v_{k}(S_{t+1})|S_t=s] \\ &= \sum_{a \in A}\pi(a|s)\Big(R^{a}_{s} + \gamma \sum_{s' \in S}P^{a}_{s,s'}v_{k}(s') \Big) \\ \end{aligned}$$
Policy Iteration一般分为两步:
1. 策略评估 Policy Evaluation： 更新$v_{\pi}$
2. 策略改进 Policy Improvement： $\pi' = greedy(v_{\pi})$
直至收敛到$\pi_{*}$

考虑一个决定性的策略，$a=\pi(s) 既 \pi(a|s)=1$可以通过贪婪的方法改进策略

$$\begin{aligned} \pi'(s)=&arg\max_{a \in A}q_{\pi}(s,a) \\ q_{\pi}(s,\pi'(s)) =&\max_{a \in A}q_{\pi}(s,a) \\ \ge& q_{\pi}(s,\pi(s))=v_{\pi}(s) \\ \therefore v_{\pi}(s) \le q_{\pi}(s,\pi'(s)) =& \mathbb{E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma v_{\pi}(S_{t+1})|S_{t}=s] \\ \le& \mathbb{E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma q_{\pi}(S_{t+1},\pi'(S_{t+1}))|S_{t}=s] \\ \le& \mathbb{E}_{\pi'}[R_{t+1}+ \gamma R_{t+2} + \gamma^2 q_{\pi}(S_{t+2},\pi'(S_{t+2}))|S_{t}=s] \\ \le& \cdots \le \mathbb{E}_{\pi'}[R_{t+1}+ \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \cdots |S_{t}=s] \\ =& v_{\pi'}(s) \end{aligned}$$
如果改进结束，那么
$$v_{\pi}(s)=q_{\pi}(s,\pi'(s))=\max_{a \in A}q_{\pi}(s,a)$$
满足Bellman最优方程，因此
$$v_{\pi}(s) = v_{*}(s) \space \forall s \in S$$
得多了最优策略$\pi_{*}$

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值迭代(Value Iteration)

根据Bellman最优方程，得到

$$v_{*}(s)=\max_{a \in A} \Big( R^a_s + \gamma \sum_{s' \in S}P^a_{s,s'}v_{*}(s') \Big)$$
有以下迭代公式
$$v_{k+1}(s)=\max_{a \in A} \Big( R^a_s + \gamma \sum_{s' \in S}P^a_{s,s'}v_{k}(s') \Big) \\ v_{k+1} = \max_{a \in A} \Big( R^a + \gamma P^a v_k \Big) \\ v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow v_3 \rightarrow \cdots \rightarrow v_* \\ \pi^*(s) = arg \max_{a \in A} \Big( R^a_s + \gamma \sum_{s' \in S}P^a_{s,s'}v_{*}(s') \Big)$$