数据结构 图

图

基本概念

• 简单路径： 除了第一个和最后一节点之外，路径中其他定点均不相同的路径。
• 邻接矩阵： A(i,j) 代表存在从点 i 到点 j 的边。 无向图的邻接矩阵是对称矩阵。

图的遍历

• 广度优先 BFS
• 深度优先 DFS

拓扑排序

不断将入度为 0 的点输出到 theOrder中，
当一个点被输出时，其邻接到的点的入度相应 -1.

单源点最短路问题

Dijkstra 算法

• 按照路径长度递增顺序产生最短路

• 在目前已经产生的每条最短路径中，考虑加入一条边到达未产生最短路径的目的顶点，再从这些新路径中选择最短的。

• 简单复杂度 O(n2)

• 优化后O((n+m) log n)

最小生成树

Kruskal 算法

• 按照边权大小，从小到大顺序来考虑边
• 当考虑某条时，若将其加入到已选边集中会出现环路，则将其抛弃，否则将他选入。

• 时间复杂性： O(n + eloge)

Prim 算法

每次从可达的，且不会构成环的边中选择代价最小的边。

Floyd 算法

求所有顶点对之间的最短路
$c(i,j,k)$ :从 i 到 j， 中间定点曲子集合{1, 2, …,k}的最短路长度

c ( i , j , k ) = m i n { c ( i , j , k ) , c ( i , k , k − 1 ) + c ( k , j , k − 1 ) } c(i,j,k) = min \{c(i,j,k), c(i,k,k-1)+c(k,j,k-1)\} c(i,j,k)=min{c(i,j,k),c(i,k,k−1)+c(k,j,k−1)}

• 时间复杂度 O(n3)