图和树（中）Floyd——warshall

最新推荐文章于 2025-11-24 17:02:03 发布

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#算法 #数据结构 #图论

本文介绍了Floyd-Warshall算法，用于解决图论中的最短路径问题。该算法通过动态规划求得图中任意两点之间的最短路径，并能应用于求解图的传递闭包。在游戏场景中，当存在胜负关系的传递性时，Floyd-Warshall可以确定哪些比赛结果是确定的，哪些是不确定的。算法的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd-Warshall

求图中任意两点之间的距离

f[k][x][y] ，只允许经过节点1-k，节点x到节点y的最短路长度
f[n][x][y]，即结点x到节点y的最短路径长度
f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y], f[k-1[x][k] + f[k-1][k][y] )
改进
f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k] + f[k][y])

算法应用

求图中任意两点之间的关系
多元最短路，任意两点的距离关系
图上的传递闭包，人以两点的联通关系
复杂度O(n^3)

算法实现

//n： 点个数，dis：距离数组，dis[i][j]:点i到点j的距离
//中间通过第k个数到达的两点之间的最短路径
void Floyd(int x,int **dis)
{
 for(int k = 1;k <= n;k++)
    for(int i = 1;i <= n;i++)
       for(int j =1;j <= n;j++)
         dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][k] + dis[k][j]);
}

求传递闭包

题意
• N 个人玩一个游戏，每两个人都要进行一场比赛
• 已知 M 个胜负关系，每个关系为 A B，表示 A 比 B 强，
胜负关系具有传递性
• 试问有多少场比赛的胜负无法预先得知？
• 1 ≤ 𝑁, 𝑀 ≤ 500
分析;
由于胜负关系具有传递性，用Floyd算法可以求出传递闭包
dis[a][b] = 1,表示a比b强
dis[a][b] = 0表示a与b的关系不明确
dis[a][b] = 0且 dis[b][a] = 0 表示a与b之间的胜负关系不明确

跑floyd，如果dis[a][b] =0 && dis[b][a] = 0，关系不明确，否则有胜负关系