30、优化方法：从共轭梯度到遗传算法

优化方法：从共轭梯度到遗传算法

在优化问题的求解中，有多种方法可供选择，本文将重点介绍共轭梯度法和遗传算法，包括它们的原理、实现步骤及应用示例。

1. 共轭梯度法求解线性系统

对于一些复杂的优化问题，共轭梯度法是一种有效的求解方法。它主要用于求解具有正定对称矩阵的线性方程组。

1.1 理论基础

考虑一个正定二次函数：
[f(x) = \frac{x^TAx}{2} + p^Tx + q]
其中 (x) 和 (p) 是 (n) 维列向量，(A) 是 (n\times n) 的正定对称矩阵，(q) 是标量。求该函数的最小值等价于求解线性方程组 (Ax = b)（令 (b = -p)）。

1.2 算法步骤

共轭梯度法的算法步骤如下：
1. 初始化 ：
- (k = 0)
- (x_k = 0)
- (g_k = b)
- (\mu_k = b^Tb)
- (d_k = -g_k)
2. 迭代过程 ：
- 当系统未满足条件时，执行以下操作：
- (q_k = Ad_k)
- (r_k = d_k^Tq_k)
- (s_k = \frac{\mu_k}{r_k})
- (x_{k + 1} = x_k + s_kd_k)
- (g_{k + 1} = g_k + s_kq_k)
- (t_k = g_{k + 1}^Tq_k)
- (\beta_k = \frac{t_k}{r_k