22、微分方程求解方法的深入探讨

微分方程求解方法的深入探讨

1. 刚性问题的本质与解决思路

刚性问题在微分方程求解中较为常见，其显著特征是在某些分量已降至可忽略水平时，仍需采用足够小的步长以确保稳定性，这就导致在大区间上需要进行大量的计算步骤。刚度比可定义为矩阵(A)的最大和最小特征值之比，它是衡量系统刚性程度的一个重要指标。

为解决刚性问题，所采用的方法必须基于稳定的技术。例如，MATLAB 中的 ode23s 函数采用连续的步长调整策略，能够处理这类问题，不过求解过程可能会比较缓慢。若使用预测 - 校正方法，不仅该方法要稳定，校正器还需迭代至收敛。

2. 特殊技术之 Hermite 方法

2.1 Hermite 方法的原理

Hermite 方法通过利用 Hermite 插值公式生成一组预测 - 校正方程。这些方程的独特之处在于包含二阶导数，但通常二阶导数的计算并非特别困难，因此这一特性不会给问题的求解带来过多额外的工作量。不过，使用计算机程序实现该技术时，用户不仅要提供微分方程右侧的函数，还需提供其导数，这对于普通用户来说可能不太容易接受。

Hermite 方法的方程形式如下：
[
\begin{align }
y_{n + 1}^{(1)}&=y_n + h\frac{(y_n’ - 3y_{n - 1}’)}{2} + h^2\frac{(17y_n’’ + 7y_{n - 1}’‘)}{12}\
y_{n + 1}^{ (1)}&=y_{n + 1}^{(1)} + \frac{31(y_n - y_n^{(1)})}{30}\