16、基于有界树宽行为图的程序验证

基于有界树宽行为图的程序验证

1. 树分解与树宽

树分解在程序验证中有着重要作用。对于一个多重图 $G = (V, E_1, \ldots, E_n)$，其树分解是一个二元组 $D = (T, {bag_t} {t\in N})$，其中：
- $T$ 是一个节点集为 $N$ 的二叉树。
- $bag_t \subseteq V$，需满足以下条件：
- 对于每个 $v \in V$，存在节点 $t \in N$ 使得 $v \in bag_t$。
- 对于每个 $i$ 和 $(u, v) \in E_i$，存在节点 $t \in N$ 使得 $u, v \in bag_t$。
- 如果 $u \in (bag_t \cap bag {t’})$，那么对于 $T$ 中连接 $t$ 到 $t’$ 的唯一路径上的每个节点 $t’‘$，都有 $u \in bag_{t’‘}$。

树分解 $(T, {bag_t} {t\in N})$ 的宽度是其中最大包的大小减 1，即 $\max {t\in N}{|bag_n|} - 1$。图的树宽是其所有树分解宽度中的最小值。有定理表明，任何嵌套字的树宽至多为 2。

2. 获取程序嵌套字的树分解

在实际操作中，我们需要动态计算程序嵌套字的树分解。为此，我们引入嵌套字形状（nw - shape）的概念。

2.1 嵌套字形状的非正式描述

nw - shape 可以是嵌套字的一个片段（ground nw - shape），也可以是两个“兼容”的 nw - shape 的合并，或者是一个 nw - s