14、流函数与复势：理论、应用与MATLAB实现

流函数与复势：理论、应用与MATLAB实现

1. 流函数基础

流函数是一种重要的数学工具，对于使用解析解的模型而言具有极高的价值。它与势函数一起，能够直观呈现难以用其他方法展示的流动模式。在二维空间中，流函数 $\Psi$ 由以下方程定义：
[
\begin{cases}
q_x = -\frac{\partial\Psi}{\partial y}\
q_y = \frac{\partial\Psi}{\partial x}
\end{cases}
]
流函数的导数即为流量矢量的分量。与势函数不同，流函数对 $y$ 的偏导数取负得到流量的 $x$ 分量，对 $x$ 的偏导数得到流量的 $y$ 分量。从定义方程可以推出，流函数也满足势方程：
[
\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\Psi}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}q_y - \frac{\partial}{\partial y}q_x = 0
]

对于特定的流动元素，存在明确的流函数公式，例如：
[
\Psi(x, y) =
\begin{cases}
-Q_{x0}y + Q_{y0}x & \text{对于基流}\
\