14、凸语言子类中的切割操作

凸语言子类中的切割操作

1. 引言

正则表达式（regex）作为一种强大的字符串匹配工具，广泛应用于文本处理、模式识别等领域。在正则表达式引擎中，切割操作（cut operation）扮演着至关重要的角色。两个语言的切割是指它们连接的一个子集，由最左边的最大子串匹配给出。本文将深入探讨凸语言子类中切割操作的状态复杂度，涵盖右理想、左理想、双边理想、全方位理想、前缀封闭、前缀自由、后缀封闭、因子封闭和子词封闭及自由语言。通过分析不同语言子类组合下的切割操作，本文提供了确切的状态复杂度，并为实际应用中的正则表达式引擎提供了有价值的见解。

2. 切割操作的定义

切割操作是两个语言连接的一个子集，由最左边的最大子串匹配给出。具体来说，对于两个语言 ( K ) 和 ( L )，它们的切割 ( K!L ) 是它们连接 ( KL ) 的一个子集，满足以下条件：

• 对于 ( v ) 的每一个非空前缀 ( v’ )，如果 ( u \in K ) 且 ( v \in L )，那么 ( uv \in K!L ) 当且仅当 ( uv’ \notin K )。

如果语言 ( K ) 和 ( L ) 被确定性有限自动机（DFA） ( A ) 和 ( B ) 接受，那么 ( K!L ) 被切割自动机 ( A!B ) 接受。切割自动机 ( A!B ) 的结构类似于乘积自动机，但有一些特殊之处：

• 当 ( A ) 的最终状态被达到时，它也开始模拟 ( B )。
• 每当 ( A ) 的最终状态再次被达到时，它会在 ( B ) 中重新启动计算。
• 如果 ( A ) 进入一个