18、非线性系统建模与分析

非线性系统建模与分析

1. 非线性系统概述

线性系统是最简单的模型类型，但从实际过程角度看，线性模型往往过于简化。其构建常因对系统特征、参数或变量观测有限，且缺乏足够数据验证模型。相比之下，非线性系统虽更复杂，但微分方程中的简单非线性项就能带来比线性系统更多样的现象。

有不少关于非线性常微分方程系统的数学教材。如 Jordan & Smith（1977）提供了广泛的例子，不限于环境系统；Hale & Koçak（1991）专注于非线性系统的分岔问题，但与环境科学联系较少。对于 MATLAB 用户，Polking（2004）的书值得推荐，其配套软件用户友好且可通过网络获取。

2. 逻辑斯蒂增长模型

对于单一物种，线性微分方程 $\frac{\partial c}{\partial t} = rc$（$r > 0$）描述指数增长，即马尔萨斯增长。然而，现实中没有物种能无限增长，该线性模型仅在有限参数或变量范围内有效。为扩大模型适用范围，需引入逻辑斯蒂增长方程：
$\frac{\partial c}{\partial t} = rc(1 - \frac{c}{\kappa}) = f(c)$
其中，$r$ 为增长率，$\kappa$ 为承载能力。“逻辑斯蒂增长”这一术语由 Verhulst 在 19 世纪上半叶提出。

当种群数量较小时，线性项 $rc$ 占主导，描述一阶增长；当浓度较高时，种群趋近承载能力 $\kappa$，临时增长率 $r(1 - \frac{c}{\kappa})$ 趋近零。该方程有解析解：
$c(t) = \frac{c_0\kappa \exp(rt)}{\kappa