16、主成分分析与推荐系统：原理、实现与应用

主成分分析与推荐系统：原理、实现与应用

1. 主成分分析（PCA）基础

主成分分析是一种用于减少数据集中独立变量数量的方法，尤其适用于数据点与独立变量比例较低的情况。在PCA中，两个变量可能高度相关，但并非完全相关。第一主成分是解释数据集中最大方差的直线或变量，它是多个独立变量的线性组合。第二主成分与第一主成分完全不相关（相关性接近0），解释了数据集中剩余的方差，同样也是多个独立变量的线性组合，通常与第一主成分垂直。一般来说，数据集中的第n个主成分与第(n - 1)个主成分垂直。

2. PCA工作细节

假设我们有两个高度相关的独立变量x1和x2，主成分可以表示为：
- PC1 = w1 × x1 + w2 × x2
- PC2 = –w2 × x1 + w1 × x2

其中，权重w1和w2是随机初始化的，需要进一步迭代以获得最优值。我们的目标和约束如下：
- 目标 ：最大化PC1的方差。
- 约束 ：主成分的总方差应等于原始数据集的总方差。

以下是具体步骤：
1. 初始化主成分变量。
2. 计算PC方差（PC1方差 + PC2方差）和原始方差（x1方差 + x2方差），并计算两者的差值，确保主成分转换后的数据集与原始数据集的方差相同。
3. 使用Excel的Solver插件来确定满足目标和约束的w1和w2的最优值。

3. 数据缩放

在PCA中，缩放变量是一个重要的预处理步骤。例如，当对两个变量进行PCA时，一个变量的值范围是0 - 100，另一个变量