11、香农定理、消息空间与信息压缩的深度剖析

香农定理、消息空间与信息压缩的深度剖析

1. 香农定理概述

在信息传输过程中，纠错是一个至关重要的问题。我们不禁会思考，纠错的极限究竟在哪里？能否构建一种编码，纠正两个、三个甚至更多的错误，直至错误率低到无需再进行改进的程度？

假设我们设定可接受的失败概率为 (10^{-30}) （当然，你也可以选择其他非零数值）。我们发送的完整编码消息长度为 (M_c) ，其中包含原始数据和编码位，数据消息长度为 (M) ，且单个比特出错的概率为 (q) 。我们期望设计一种编码方案，纠正单个、双个、三个等错误，直到 (M_c) 中出现更多错误的概率小于 (10^{-30}) 。那么，我们需要多少编码位？ (M_c) 中有多少是消息，又有多少是其他部分呢？

香农证明了以下不等式对于 (M) 和 (M/M_c) 成立：
[M/M_c \leq J(q) = 1 - (q\log_2[1/q] + [1 - q]\log_2[1/(1 - q)])]

根据香农的理论，如果对批次长度 (M_c) 不设限制，残余错误率可以任意接近零。也就是说，我们能够构建一个编码来纠正任意数量的错误，达到我们所选择的任何精度。理论上唯一的限制就是上述不等式，但在实际应用中，可能需要较大的批次规模和大量的创造力。不过，遗憾的是，香农并未告知我们具体的实现方法。

为了说明香农对编码效率所设定的上限，我们可以构建一个包含不同 (q) 值的表格：
| (q) | (M/M_c) | (M_c/M) |
| ---- | ---- | ---- |
| (1/2) | (0) | (\infty) |
| (1/3) | (0.082) |