8、图灵机：原理、应用与挑战

图灵机：原理、应用与挑战

1. 图灵机概述

图灵提出了将数学家自身或其他数学家视为一种机器的想法。这种机器在其“大脑”中有一个有限状态机，同时拥有无限量的纸张可供书写。正是这无限的纸张，即实际上无界的内存，将图灵机与有限状态机（FSM）区分开来。像括号检查、乘法等问题，有限状态机无法完成，因为其定义决定了它缺乏无限的内存容量，而图灵机不受此限制。这里的“无限”并非指机器附带的纸张数量是无穷的，而是在任何给定阶段，纸张数量是有限的，但我们可以在需要时随时添加。

图灵机通常被设想为一个具有有限内部状态的小机器，它在一段磁带上移动。磁带被划分成一个个单元格，每个单元格中可能有一个符号。机器的操作简单，与有限状态机类似：它从某个状态开始，查看一个单元格的内容，根据当前状态和单元格内容，它可能擦除单元格内容并写入新内容，或者保持单元格不变（为确保操作的一致性，可将此视为擦除内容后再写回），然后向左或向右移动一个单元格，并切换到一个新的内部状态。

图灵机与有限状态机有相似之处，都有内部状态。读取单元格内容类似于刺激，覆盖内容类似于响应，左右移动也是如此。不过，图灵机每次只能移动一个方格并非关键特性，这只是让它更具原始性，而能左右移动是图灵机的一个重要特性，只能单向移动的图灵机本质上就是有诸多限制的有限状态机。

2. 图灵机的数学描述

我们先假设只有磁带的有限部分有书写内容，该区域两侧的磁带是空白的。在时间 T 时，我们告知机器从何处开始。在 T + 1 时刻（图灵机和有限状态机一样按脉冲时间运行），机器的行为由三个函数决定，它们都依赖于时间 T 时的状态 Qi 和刚刚读取的符号 Si，分别是新状态 Qi、写入的符号 Si 以及后续移动的方向 D，可