7、计算理论中的有限状态机与图灵机基础

计算理论中的有限状态机与图灵机基础

1. 通用图灵机与有限状态机概述

通用图灵机（UTM）被认为具有强大的计算能力，图灵断言，如果任何事情可以通过有效的程序完成，那么通用图灵机就能完成它；反之，如果通用图灵机无法解决某个问题，那么就不存在解决该问题的有效程序。尽管这只是一个猜想，但得到了广泛的认可和理论支持，目前还没有人能设计出原则上超越通用图灵机的机器。在深入了解通用图灵机之前，我们先来看看它相对简单的“兄弟”——有限状态机（FSM）。

2. 有限状态机的基本概念

典型的图灵机由两部分组成：一个潜在无限长的磁带和在磁带上移动并操作其内容的机器本身。如果没有磁带，图灵机的计算能力会大打折扣。我们先从去掉磁带的图灵机开始研究，即有限状态机。

有限状态机本身也有一定的研究价值，它能解决一些问题，但也有一些问题是它无法解决的，而图灵机却可以。我们将把所有机器看作黑盒，只关注它们的行为。

有限状态机的基本工作原理如下：
- 机器从某个内部状态 $Q$ 开始，这个状态可能只是在内存中保存一个数字。
- 它接收一个输入或刺激 $S$，可以想象机器从有限磁带上读取信息或通过其他方式获取输入。
- 机器对输入做出反应，转变到另一个状态 $Q’$，并输出一个响应 $R$。状态的转变和响应由初始状态和输入共同决定。
- 机器重复这个循环，读取新的输入，再次改变状态并输出响应。

为了与实际机器联系起来，我们引入离散时间变量 $t$。在时间 $t$ 时，机器处于状态 $Q(t)$ 并接收符号 $S(t)$，响应在时间 $t + 1$ 给出。我们用两个函数 $F$ 和 $G$ 来描述有限状态机的行为：