17、格密码系统的改进与应用：从理论到实践

格密码系统的改进与应用：从理论到实践

格密码系统与编码密码系统的比较

在密码学领域，格密码系统和编码密码系统是两种重要的加密方式。编码密码系统有一个明显的优势，即可能拥有更小的公钥。由于定义编码的矩阵元素为 {0, 1}，公钥大小仅为 O(n²)，而格密码系统的公钥大小为 O(n² log n)。

不过，这种比较并非总是有意义的，因为我们需要更好地理解格问题和编码问题的难度关系。例如，如果在 n 维空间中解码二进制线性码比破解同维度的格更容易，那么在公平比较这两种方案时，就应该使用不同的安全参数值。

实际上，最初的 McEliece 方案提出使用块长 n = 1024 的编码，但近期的密码分析工作表明，即使是这么大的维度也可能不够安全。有趣的是，二进制（或三进制）码的最近码字问题可以有效地转化为整数上的最近向量问题。为了找到最接近 y 的码字 Cx，只需在 [C|2I] 中寻找最接近 y 的格向量。这表明，至少在二进制情况下，格问题可能比编码问题更难。

对于更大的字母表，编码和格之间的关系就不那么清晰了。而且，如果使用大字母表，基于编码的密码系统的公钥大小会增加。例如，如果使用 Reed - Solomon 码，字母表大小为 n，公钥总大小将达到 O(n² log n)，与基于格的密码系统的渐近密钥大小相匹配。

NTRU 密码系统

NTRU 是由 Hoffstein、Pipher 和 Silverman 提出的基于多项式环算术的密码系统。该系统的工作原理如下：
1. 系统参数 ：设 n、p、q 为系统参数，其中 n 是安全参数（如 n = 200），p 是小素数（如 p