22、随机波动率模型：理论、计算与应用

随机波动率模型：理论、计算与应用

1. 随机波动率模型概述

随机波动率（SV）模型在期权定价中具有诸多理想特性，但在实际应用中，并非总能轻松校准到无套利的欧洲香草市场期权价格。特别是Heston随机波动率模型在对股票市场短期到期期权定价时，准确性通常不尽如人意。

2. Heston随机波动率模型的仿射扩散过程

在风险中性测度Q下，具有扩散波动率结构的一般随机模型可表示为：
[
\begin{cases}
dS(t) = rS(t)dt + a(t, v)S(t)dW_x(t) \
dv(t) = b(t, v)dt + c(t, v)dW_v(t)
\end{cases}
]
其中，(r)为常数，(dW_x(t)dW_v(t) = \rho_{x,v}dt)，(|\rho_{x,v}| < 1)。通过不同的函数(a(t, v))、(b(t, v))和(c(t, v))，可以定义多种不同的随机波动率模型。

经过对数变换(X(t) = \log S(t))，模型可以用独立布朗运动表示：
[
\begin{bmatrix}
dX(t) \
dv(t)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\bar{\mu} 1(t, X(t)) \
\bar{\mu}_2(t, X(t))
\end{bmatrix}
dt +
\begin{bmatrix}
\bar{\sigma} {1,1}(t, X(t)) & \