2、模糊数量运算中（非）相关 t - 范数联合分布解析

模糊数量运算中（非）相关 t - 范数联合分布解析

1. 引言

在模糊算术领域，一种常用的方法是通过定义模糊 n 元组的分布函数来展开研究。对于模糊 n 元组 (X_1, \cdots, X_n)，其分布函数 (f(x): R^n \to [0, 1])（其中 (x = x_1, \cdots, x_n)），且方程 (f(x) = 1) 至少有一个解。任意 m 元组（(m < n)）的边缘分布通过取上确界来定义，即 (g(x_1, \cdots, x_m) = \sup_{所有 x_{m + 1}, \cdots, x_n} f(x_1, \cdots, x_n))。

联合分布方法具有显著优势，它不仅具有普遍性，而且计算规则与普通清晰数的算术规则相同。这里我们提及模糊数量，而非模糊数，目的是表明在未明确指定的情况下，我们不对分布函数做特殊假设，尽管在实际应用中通常需要合理的限制。

若 (\psi: R^n \to R) 是一个函数，模糊数量 (Z = \psi(X_1, \cdots, X_n)) 的分布 (Z(z)) 由 (Z(z) = \sup_{x: \psi(x) = z} f(x)) 给出，当取上确界的集合为空时，(Z(z) = 0)。特别地，当 (n = 2) 时，(\psi(x, y)) 是模糊数量 (X) 和 (Y) 上的二元运算 (x \circ y)，此时 (Z = X \circ Y) 的分布为 (Z(z) = \sup_{x,y: x \circ y = z} f(x, y))。

固定两个边缘分布 (X(x)) 和 (Y(y)) 后，具有这些边缘分布的联合分布 (f(x, y) =