23、邻接矩阵与模块化矩阵在图划分中的关系

邻接矩阵与模块化矩阵在图划分中的关系

1. 引言

图划分是将图分解为具有特定属性的较小组件的过程，也被称为聚类或社区检测，在学术界和工业界都备受关注。例如，图划分可应用于科学计算、机器人技术以及图像分割等领域。

目前已有多种解决图划分问题的算法，其中基于图邻接矩阵的两种谱技术被广泛使用和深入研究：Fiedler 提出的谱聚类方法，以及 Newman 和 Girvan 提出的模块化聚类方法。谱聚类方法利用图邻接矩阵第二小特征向量对应的特征值与图结构的紧密关系，通过邻接矩阵特征向量元素的符号来划分图；模块化聚类方法则使用模块化矩阵特征值对应的特征向量元素进行聚类。

此外，还有一些谱聚类和模块化聚类方法的改进版本，如 Chung 对缩放拉普拉斯矩阵性质的分析，Shi 和 Malik 利用归一化谱聚类开发归一化拉普拉斯矩阵进行图像分割等。

由于模块化矩阵由邻接矩阵推导而来，研究两者是否能得到相似的聚类结果具有重要意义。本文的主要贡献在于描述使用模块化矩阵和邻接矩阵的聚类结果之间的关系，证明使用归一化模块化矩阵和归一化邻接矩阵将产生相同的聚类结果，并通过实验表明使用归一化邻接矩阵进行聚类比使用归一化模块化矩阵更高效。

2. 预备知识

假设 $G(V, E)$ 是一个具有 $m = |E|$ 条边和 $n = |V|$ 个顶点的连通简单图。除非另有说明，$A$ 表示邻接矩阵，即：
[
A_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{如果节点 } i \text{ 和 } j \text{ 相邻} \
0, & \text{否则}
\e