11、二进制减法与补码系统的奥秘

二进制减法与补码系统的奥秘

在我们能够用继电器、电子管或晶体管实现二进制加法之后，自然而然会想到：减法该如何实现呢？加法和减法虽相互补充，但运算机制却大不相同。加法是从最右边的数位逐列向左边进行，每一列产生的进位会加到下一列；而减法需要借位，这是一种完全不同的机制，过程较为繁琐。

1. 十进制减法的巧妙处理

以一个典型的需要借位的减法问题为例：253 - 176。当看到最右边一列 6 大于 3 时，我们就知道需要借位，而且可能不止借一次。为了避免借位，我们可以采用一种特殊的方法。

我们知道减法等同于加上一个负数，所以可以将 253 - 176 改写为 -176 + 253。接着，我们引入两个数（一个正数和一个负数），使计算变为 1000 - 176 + 253 - 1000，因为加上 1000 再减去 1000 不影响结果。又因为 1000 等于 999 + 1，所以可以进一步改写为 999 - 176 + 253 + 1 - 1000。

具体计算步骤如下：
1. 计算 999 - 176，得到 823。这里的 823 就是 176 的九的补数，计算九的补数无需借位。
2. 计算 823 + 253，得到 1076。
3. 计算 1076 + 1，得到 1077。
4. 计算 1077 - 1000，得到 77，与正常借位计算的结果相同。

当使用九的补数简化减法时，需要注意处理的数字位数。如果数字是四位数，就需要用 9999 来计算九的补数，最后减去 10000。

如果是用较小的数减去较大的数，例如 176 - 253，通常我们会交换两个数的位置进行减法，然后记住结果是负数。用上述