时间和空间复杂度<一>

谈到数据算法，就不得不提复杂度，书上解释很复杂这里不贴了，下面结合个人理解和代码做些简单记录，有的理解可能不准确或者错误。

时间复杂度

1.概念

执行程序所需要花费的时间，计算时可以简单认为就是执行最多语句的次数，注意：这里只是大致估算，若要真实时间需要另外编写测试程序

2.规则

a.只计算执行次数最多的代码

b.忽略不重要参数，只关心与数量变化很大时相关的表达式(变量级数，一般为n)

比如某段语句执行2n+3次，那么O(2n+3)=O(n)，即时间复杂度为O(n)而不是O(2n+3)

c.复杂度与时间效率的关系：  
c < log2n < n < n*log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! （c是一个常量，n!表示n^n）  
|--------------------------|--------------------------|-------------|  
          较好                     一般              较差 

3.例子

3.1-例1

a.执行次数

int i = 0, sum = 0, n = 100;	// 执行1次
for(i = 1; i < n; i++){		// 执行n+1次
	sum = sum + i;		// 执行n次
}

如上很容易看出，总共执行次数为1+(n+1)+n=2n+2

b.复杂度

忽略系数2和+2，所以O(2n+2)=O(n)，即时间复杂度为O(n)

3-2-例2

printf("hello world\n);
printf("hello world\n);
printf("hello world\n);
printf("hello world\n);
printf("hello world\n);
printf("hello world\n);

a.执行次数

可以看出总共执行6次

b.复杂度

结合上面规则，是O(6)，可是这样写对么？

不对，如果要表示执行固定多次，只能O(1)，因此O(1)永然都表示执行次数是固定，哪怕是100次，也还是O(1)

空间复杂度

1.概念

执行程序所需要申请空间的大小，计算时可以简单认为就是操作/使用最多语句的次数，同样只是大致估算

2.规则

a.函数调用会申请空间一次，函数会使用和操作栈空间

b.手动分配内存会申请空间一次(比如malloc类函数)，他们会操作堆空间

c.忽略不重要参数，只关心与数量变化很大时相关的表达式(变量级数，一般为n)

3.例子

3.1-例1

int *f(void){
	int *p = malloc(sizeof(int));
	return *p;
}

a.操作内存次数

调用函数操作一次栈，malloc操作一次堆，所以总共2次

b.复杂度

同上面一样，操作内存次数2为常量，所以O(2)=O(1)

3.2-例2

int *p[n], *q[n];
for(i = 0; i < n; i++){
	p[i] = malloc(sizeof(int));
	q[i] = malloc(sizeof(int));
}

a.操作内存次数
循环执行n次，循环里面分配两次空间，因此总共n*2=2n次

b.复杂度

同上可知O(2n)=O(n)

总结：

时间复杂度-判断执行次数最多语句，计算执行次数，取结果最高阶数

空间复杂度-判断分配/使用空间最多语句，计算执行次数，取结果最高阶数