复杂度分析之很多重循环

这一篇主要是网上看到的一个复杂度题目，使用数学方法进行详细分析计算

原文地址：http://blog.youkuaiyun.com/huxiaokang1234/article/details/52929515

参考链接：https://zhidao.baidu.com/question/74096252.html

例1

for(i=1;i<=n;i++)
	for(j=1;j<=i;j++)
		for(k=0;k<=j;k++)
			x++;

时间复杂度分析如下

我们对它进行仔细分析，它的来源应该是：

例2

i = 1;
while(i < n) 
	i = i * 2;

它的时间复杂度分析应该是这样的：假设执行了k次之后，才会停止，那么就有i=n,此时i=2*2*2*2..........*1=2^k,因为这是一个递归，所以有2^k=n,两边取对数，那么就有k=log n(底数为2),此时就是T(n)=O((log2)n)，其中(log2)n表示以2为底的对数

个人分析

上述例1程序中执行次数最多语句为x++，首先分析执行次数，由于一下看不出来，因此采用常数推测看规律，当i=1执行1*2次，当i=2执行2*3次，当i=3执行3*4，....，当i=n时执行n*(n+1)次，所以执行总次数为1*2+2*3+3*4+...n*(n+1)=1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+···+n(n+1)=1²+1+2²+2+3²+3+····+n²+n=(1+2+3+····+n)+(1²+2²+3²+···n²)=(1+n)n/2+n(n+1)(2n+1)/6=n(n+1)/2[1+(2n+1)/3]=n(n+1)(n+2)/3=x1*n^3+x2*n^2+x3*n^1+x4*1，其中x1、x2、x3、x4均表示常数，由于求时间复杂度时不关心这些，只关心最高阶，因此时间复杂度为O(n^3)

总结

找到执行次数最多语句的总次数，结果保留最高阶即为时间复杂度