25、一种简单快速的最大团查找分支限界算法

一种简单快速的最大团查找分支限界算法

1. 引言

在图论中，团是指一个子图，其中任意两个顶点都相互相邻。在图中找到最大团是一个NP难问题，高效地获得精确解十分困难，甚至得到一个令人满意的近似解也颇具挑战。然而，许多实际问题都可以被表述为最大团问题，因此，开发在实际应用中运行速度极快的精确最大团查找算法显得尤为重要。

一种标准的开发快速算法的方法是基于分支限界法，其核心在于高效地减少搜索空间，同时降低开销。之前开发的简单分支限界算法MCR在减少搜索空间方面取得了一定的成功，并且开销较低。不过，MCR在解决大型实际问题时速度仍不够快，因此，迫切需要更快的算法。

本文提出了新的近似着色和其他相关技术，这些技术显著提高了分支限界算法MCR的运行时间。将这些新技术引入MCR后得到的算法被命名为MCS。MCS在很大程度上继承了MCR的简单性，同时更成功地高效减少了搜索空间，开销依然较低。大量的计算实验表明，MCS比MCR和其他现有算法快得多，对于某些图，其速度比其他算法快一个数量级。

2. 定义和符号

• 图的定义 ：考虑一个简单无向图$G = (V, E)$，其中$V$是有限的顶点集，$E$是有限的边集，边由不同顶点的无序对$(v, w)(=(w, v))$组成。顶点集$V$是有序的，第$i$个元素记为$V [i]$。如果$(v, w) \in E$，则称顶点$v$和$w$相邻。
• 顶点的邻接集和度 ：对于顶点$v \in V$，$\Gamma(v)$表示在图$G$中与$v$相邻的所有顶点的集合，即$\Gamma(v) = {w \in V