异或数列【第十二届】【省赛】【A组】

这篇博客探讨了一个Alice和Bob玩的异或数列游戏。游戏中,双方轮流从给定的数列中选择一个数进行异或操作,目标是使自己最后拥有的数更大。博主分析了游戏的策略,包括当所有数异或后为0时的平局情况,以及根据最高位1的出现次数和0的数量判断胜负的条件。通过高位异或位的奇偶性和数量,可以确定哪一方将赢得游戏。

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Alice 和 Bob 正在玩一个异或数列的游戏。

初始时,Alice 和 Bob 分别有一个整数 a 和 b(初始时,a,b 均为 0),有一个给定的长度为 n 的公共数列 X1,X2,⋅⋅⋅,Xn。

Alice 和 Bob 轮流操作,Alice 先手,每步可以在以下两种选项中选一种:

  • 选项 11:从数列中选一个 Xi 给 Alice 的数异或上,或者说令 aa 变为 a⊕Xi(其中 ⊕⊕ 表示按位异或)
  • 选项 22:从数列中选一个 Xi 给 Bob 的数异或上,或者说令 bb 变为 b⊕Xi

每个数 Xi 都只能用一次,当所有 Xi 均被使用后(nn 轮后)游戏结束。

游戏结束时,拥有的数比较大的一方获胜,如果双方数值相同,即为平手。

现在双方都足够聪明,都采用最优策略,请问谁能获胜?

输入格式

每个评测用例包含多组询问。询问之间彼此独立。

输入的第一行包含一个整数 T,表示询问数。

接下来 T 行每行包含一组询问。其中第 ii 行的第一个整数 nini 表示数列长度,随后 ni 个整数 X1,X2,⋅⋅⋅,Xni 表示数列中的每个数。

输出格式

输出 T 行,依次对应每组询问的答案。

每行包含一个整数 1、0 或 −1 分别表示 Alice 胜、平局或败。

1 ^ x = 反转x的每一位数字, 0 ^ x = x 

01-如果一组数据中每个数字全都按位异或,如果最终的结果是0则说明是平局(无法去改变a和b)输出 0

02

<1>从高位向低位枚举如果第一个1所在的最高的那一位只有一个1,那么这个1一定会被alice先选出来,又因为最高位是1所以最终alice的结果一定比bob大 输出 1

<2>如果在最高位的1出现的次数大于1此时就可以用0来滞空(即停留不选)如果0的数量为偶数那么最终还是会由alice选出奇数次的1(因为选偶数次1相当于反转两次不变)所以此时alice赢输出 1

<3>如果在最高位的1出现的次数大于1而0的个数为奇数那么此时一定是bob选到了奇数次的1所以bob赢输出 -1

03 - 判断0的个数的方法

如果在某一位的1的数量有 cnt 个, 那么等同于有cnt个数字这一位是1又因为有n个数字,所以就有n - cnt个数字这一位是0

Source Code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 200010;

int a[N];
int pe[30];

void pre(int ai)
{
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i <= 19; i++)
    {
        if(ai >> i & 1) pe[cnt] ++;
        cnt++;
    }
}

int t, n, x;

int main()
{
// #ifdef LOCAL
//     freopen("in.txt", "r", stdin);
//     freopen("out.txt", "w", stdout);
// #endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            cin >> a[i];
            pre(a[i]);
            x ^= a[i];
        }
        // for(int i = 0; i <= 19; i++)
        //     cout << pe[i] << ' ';
        // return 0;
        if(!x)
            cout << 0 << endl;
        else
        {
            for(int i = 19; i >= 0; i--)
            {
                if(pe[i] % 2 == 0) continue;
                else if(pe[i] == 1) {cout << 1 << endl; break;}
                else if((n - pe[i]) % 2 == 0) {cout << 1 << endl; break;}
                else if((n - pe[i]) % 2 == 1) {cout << -1 << endl; break;}
            }
        }
        memset(pe, 0, sizeof pe);
        x = 0;
    }
    return 0;
}

 

### 关于蓝桥杯第十二届研究生 Java 题目的分析 #### A. 整数范围 整数范围问题是考察基本的数据类型边界以及溢出处理能力。通常涉及大数值运算,需注意 `long` 类型的应用及其最大值限制[^1]。 ```java public class IntegerRange { public static void main(String[] args) { long maxLongValue = Long.MAX_VALUE; System.out.println(maxLongValue); } } ``` #### B. 带宽计算 带宽问题主要围绕单位转换展开,例如从字节到千兆比特的换算逻辑。此题需要熟悉计算机存储单位之间的关系并能快速完成相应计算。 #### C. 纯质数朴素解法按位枚举 纯质数是指仅由素数成的一类特殊数字序列。通过逐位判断每一位是否属于已知的小素数集合来验证整个数列的有效性是一种常见方法。 #### D. 完全日期朴素解法不依赖 API 的实现 完全日期解析要求选手自行编写函数判定给定字符串是否表示合法公历日期而无需调用任何现成库函数支持。这包括闰年的检测平常月份天数差异等方面的考虑。 #### E. 最小权值记忆化搜索动态规划 最小权路径寻找往往采用递归加缓存的方式优化时间复杂度至多项式级别以内解决大规模输入实例下的性能瓶颈问题。状态定义清晰合理至关重要。 #### F. 字符串转大写 简单字符操作练习项目之一就是把一段英文短句里的所有字母都变成它们对应的大写字母形式输出出来即可满足题目需求。 #### G. 数列利用前缀技术加速查询效率 当面对频繁询问区间总请求时可以预先构建辅助结构使得每次响应只需O(1)代价便能得到精确结果从而极大提升整体运行速度表现水平。 #### H. 异或变换转移矩阵乘积表达方式简化重复模式识别过程 异或运算具备自反性交换律特性因此非常适合用来描述某些特定类型的周期现象或者镜像反射效应等等情况下面向量空间视角重新诠释这些规律有助于发现更深层次联系进而找到更加优雅简洁解决方案。 #### I. Splay树维护动态集合在线调整顺序适应性强灵活性高 Splay作为平衡二叉查找树的一种变体能够在保持较低平均访问成本前提下灵活应对各种实时修改指令比如旋转节点位置改变子树形态等动作均能在对数时间内高效完成任务目标达成预期效果理想。 #### J. 二进制合计数运用经典模型推导通项公式得出最终结论 针对此类排列合统计类难题我们一般先尝试建立数学归纳假设再借助已有理论工具逐步拆分细化直至获得通用表达式为止最后代入具体参数值得到确切数目答案结束解答流程。 ---
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