2018蓝桥杯A组：分数（3种方法 循环累称 快速幂运算 移位运算）

一、题目：分数
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
每项是前一项的一半，如果一共有20项,
求这个和是多少，结果用分数表示出来。
类似：
3/2
当然，这只是加了前2项而已。分子分母要求互质。

注意：
需要提交的是已经约分过的分数，中间任何位置不能含有空格。
请不要填写任何多余的文字或符号。

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• 分析思路：
  

对分数求和之后需要约分，就是求它的最大公约数，而这道题目会发现分子和分母是互质的，不需要约分

• 方法一： 循环累称求x，之后x(*2-1）/x

x=2^19（2* 2* 2* 2 *…）
其运行时间会很长

• 方法二： 快速幂运算
  当我们计算2^100次方的时候，就算用long long类型，会发现结果是0，原因是发生了溢出，结果非常庞大，这就是指数爆炸问题，2的10次方是1024,而它的11次方变成了2048，指数每增加一次，结果却发生很大的变化。
  改进方法：采用快速幂运算，何为快速幂运算呢？
  举例：求3^10 (3的10次方)，可以转化为9^ 5(9的5次方),在这基础上还可以转化(81^ 2)*(9^1)
  最初3的10次方需要循环10次，而之后一步一步的转换底数，运算速度会越来越快，有兴趣的同学可以试一下。
  
  2^10 =2^8 * 2^2
  
  2^11 =2^8 * 2^2 *2
• 代码：

#include<iostream>
using namespace std;

long pow_2(int b){
	long x=2;
	long res=1;
	while(b>0){ //用b来移位 
		if(b&1) //b和1做与运算，检测到 
		res*=x;  //x每次都要平方 
		b>>1;  //右移一位,每次都要往前移 
		x=x*x; 
	}
	return res;
}
//求最大公约数 
int gcd(long a,long b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
	//cout<<gcd(12,9)<<endl; 可以用12和9做测试
	cout<<gcd(pow_2(20)-1,pow_2(19))<<endl;
	cout<<pow_2(20)-1<<"/"<<pow_2(19)<<endl; 
}

此方法可用于多种幂运算，灵活运用，感兴趣的可以记住前面的一段模板

• 方法三: 移位运算
  此方法只能限于2的幂运算，3的话二进制变化为11，向左移位的话会变成110，而不是它的平方，发生错误
• 代码

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
	long a=(1<<19);
	long b=(a<<1)-1;
	cout<<b<<"/"<<a<<endl;
	return 0;
} 

1是分子和分母的最大公约数，也就是他们是互质的

答案 1048575/524288
最大公约数不会的小伙伴，可以看我前面的博客，里面有详细解释及代码