第九周项目三稀疏矩阵相加

/*
* Copyright (c) 2015, 烟台大学计算机与控制工程学院
* All rights reserved.
* 文件名称: main.cpp,tup.cpp,tup.h
* 作者:巩凯强
* 完成日期:2015年11月1日
* 版本号:codeblocks
*
* 问题描述:  采用三元组存储稀疏矩阵,设计两个稀疏矩阵相加的运算算法
* 输入描述: 无
* 程序输出: 见运行结果
*/
#ifndef TUP_H_INCLUDED
#define TUP_H_INCLUDED
#include<stdio.h>
#define M 6
#define N 7
#define MaxSize 100
typedef int ElemType;
typedef struct
{
    int r;
    int c;
    ElemType d;
}TupNode;
typedef struct
{
    int rows;
    int cols;
    int nums;
    TupNode data[MaxSize];
}TSMatrix;
void CreatMat(TSMatrix &t,ElemType A[M][N]);  //从一个二维稀疏矩阵创建其三元组表示
bool Value(TSMatrix &t,ElemType x,int i,int j);  //三元组元素赋值
bool Assign(TSMatrix t,ElemType &x,int i,int j); //将指定位置的元素值赋给变量
void DispMat(TSMatrix t);//输出三元组
bool MatAdd(TSMatrix a,TSMatrix b,TSMatrix &c);
#endif // TUP_H_INCLUDED


#include"tup.h"
void CreatMat(TSMatrix &t,ElemType A[M][N])
{
    int i,j;
    t.rows=M;
    t.cols=N;
    t.nums=0;
    for(i=0;i<M;i++)
    {
        for(j=0;j<N;j++)
        {
            if(A[i][j]!=0)
            {
                t.data[t.nums].r=i;
                t.data[t.nums].c=j;
                t.data[t.nums].d=A[i][j];
                t.nums++;
            }
        }
    }
}
bool Value(TSMatrix &t,ElemType x,int i,int j)
{
    int k=0,k1;
    if(i>=t.rows||j>=t.cols)
        return false;
    while(k<t.nums&&i>t.data[k].r)
    {
        k++;
    }
    while(k<t.nums&&i==t.data[k].r&&j>t.data[k].c)
    {
        k++;
    }
    if(t.data[k].r==i&&t.data[k].c==j)
    {
        t.data[k].d=x;
    }
    else
    {
        for(k1=t.nums-1;k1>=k;k1--)
        {
            t.data[k1+1].r=t.data[k1].r;
            t.data[k1+1].c=t.data[k1].c;
            t.data[k1+1].d=t.data[k1].d;
        }
        t.data[k].r=i;
        t.data[k].c=j;
        t.data[k].d=x;
        t.nums++;
    }
    return true;
}
bool Assign(TSMatrix t,ElemType &x,int i,int j)
{
    int k=0;
    if(i>=t.rows||j>=t.cols)
        return false;
    while(k<t.nums&&i>t.data[k].r)
    {
        k++;
    }
    while(k<t.nums&&i==t.data[k].r&&j>t.data[k].c)
    {
        k++;
    }
    if(t.data[k].r==i&&t.data[k].c==j)
        x=t.data[k].d;
    else
        x=0;
    return false;
}
void DispMat(TSMatrix t)
{
    int i;
    if(t.nums<=0)
    {
        return ;
    }
    printf("\t%d\t%d\t%d\n",t.rows,t.cols,t.nums);
    printf("\t------------------\n");
    for (i=0; i<t.nums; i++)
        printf("\t%d\t%d\t%d\n",t.data[i].r,t.data[i].c,t.data[i].d);
}

bool MatAdd(TSMatrix a,TSMatrix b,TSMatrix &c)
{
    int i,j;
    ElemType va,vb,vc;
    if (a.rows!=b.rows || a.cols!=b.cols)
        return false;                        //行数或列数不等时不能进行相加运算
    c.rows=a.rows;
    c.cols=a.cols;       //c的行列数与a的相同
    c.nums=0;
    for(i=0; i<M; i++)
        for(j=0; j<N; j++)
        {
            Assign(a,va,i,j);
            Assign(b,vb,i,j);
            vc=va+vb;
            if(vc)
                Value(c,vc,i,j);
        }
    return true;
}


#include "tup.h"
int main()
{
    TSMatrix ta,tb,tc;
    int A[M][N]=
    {
        {0,0,1,0,0,0,0},
        {0,2,0,0,0,0,0},
        {3,0,0,0,0,0,0},
        {0,0,0,5,0,0,0},
        {0,0,0,0,6,0,0},
        {0,0,0,0,0,7,4}
    };
    int B[M][N]=
    {
        {0,0,10,0,0,0,0},
        {0,0,0,20,0,0,0},
        {0,0,0,0,0,0,0},
        {0,0,0,50,0,0,0},
        {0,0,20,0,0,0,0},
        {0,0,0,10,0,0,4}
    };
    CreatMat(ta,A);
    CreatMat(tb,B);
    printf("A:\n");
    DispMat(ta);
    printf("B:\n");
    DispMat(tb);
    if(MatAdd(ta, tb, tc))
    {
        printf("A+B:\n");
        DispMat(tc);
    }
    else
    {
        printf("相加失败\n");
    }
    return 0;
}

运行结果:


知识点总结:

采用三元组存储稀疏矩阵的算法,将两个稀疏矩阵相加。

学习心得:

对稀疏矩阵算法的应用。

<think>嗯,用户想了解稀疏矩阵的运算方法和实现方式,包括算法数据结构。首先,我需要回忆一下稀疏矩阵的基本概念。稀疏矩阵是大部分元素为零的矩阵,为了节省存储空间和计算资源,通常用元组(行、列、值)来存储非零元素。用户提供的引用中提到了元组表作为存储结构,这可能是一个关键点。 接下来,用户提到的运算主要是加法和乘法。根据引用[2],稀疏矩阵的加法和乘法需要处理元组表。加法的话,可能需要遍历两个矩阵的元组,按行和列的顺序合并,而乘法则更复杂,需要符合矩阵乘法的规则,即前者的列数等于后者的行数,然后进行行和列的乘积求和。 然后,我需要考虑如何具体实现这些运算。比如加法,如何合并两个元组表,如何处理相同位置的非零元素相加,以及如何生成新的元组表。对于乘法,可能需要遍历第一个矩阵的行和第二个矩阵的列,然后计算点积,但如何高效地处理稀疏结构是关键,避免不必要的零元素相乘。 用户提供的引用[4]中有一个矩阵乘法的代码示例,虽然是用C++,但可以看出需要重循环,外层循环遍历行,中间遍历列,内层进行累加。不过稀疏矩阵的乘法可能需要更优化的方法,比如只处理非零元素,减少计算量。 另外,引用[1]提到在实现乘法时增加了参数判断,比如检查矩阵的行列数是否符合要求,这也是需要注意的,避免运行时错误。同时,引用[3]提到稀疏矩阵的存储、创建、显示和转置方法,可能转置在乘法中有用,比如将第二个矩阵转置后可以更高效地进行行和行的点积。 数据结构方面,元组表的结构需要定义,可能是一个结构体数组,每个元素包含行、列、值。在C语言中可以用结构体,而在Python中可能用列表存储这些元组。对于加法,需要合并两个元组,可能需要类似归并排序的合并过程,逐个比较行和列的顺序,然后相加或插入到结果中。 关于实现的具体步骤,比如加法,先检查两个矩阵的行列数是否相同,然后初始化结果矩阵的元组,接着同时遍历两个矩阵的元组,按行优先、列次之的顺序,将元素相加,如果和不为零则加入结果。乘法的话,需要遍历第一个矩阵的每一行,然后对于每个元素,找到第二个矩阵中对应列的非零元素进行相乘,并累加到结果的位置。 此外,用户可能关心时间复杂度和优化方法。比如,加法的时间复杂度是O(m + n),其中m和n是两个矩阵的非零元素数量。乘法则可能更复杂,如果采用传统方法,时间复杂度可能较高,但通过优化,比如使用哈希表来快速定位列元素,可能提高效率。 最后,需要总结稀疏矩阵运算的关键点,包括数据结构的选择、算法步骤、注意事项以及优化方向。可能还要提到实际应用中的挑战,比如如何有效管理元组的存储和快速访问,以及如何处理动态变化的稀疏矩阵。</think>### 稀疏矩阵运算方法及实现详解 #### 一、稀疏矩阵存储结构 稀疏矩阵通常使用**元组表**存储,每个非零元素表示为$(行号, 列号, 值)$。例如矩阵: $$ \begin{bmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} $$ 存储为元组:$[(1,2,5),(2,1,3),(3,3,9)]$[^2] #### 二、核心运算实现方法 1. **加法运算** - **步骤**: 1. 检查两个矩阵的行列数是否相等[^1] 2. 创建空结果矩阵 3. 使用双指针同时遍历两个元组表 4. 按行列顺序合并元素,相同位置元素相加 - **代码片段**: ```python def sparse_add(a, b): if a.rows != b.rows or a.cols != b.cols: return None res = [] i = j = 0 while i < len(a.data) and j < len(b.data): if a.data[i][0] < b.data[j][0] or \ (a.data[i][0] == b.data[j][0] and a.data[i][1] < b.data[j][1]): res.append(a.data[i]) i += 1 elif ...: # 处理元素相加和指针移动 ``` 2. **乘法运算** - **前置条件**:第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数[^4] - **优化策略**: - 对第二个矩阵进行转置,转换为$(列, 行, 值)$格式 - 使用哈希表存储行/列的非零元素 - **算法流程**: $$ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n}A_{ik} \times B_{kj} $$ 仅当$A_{ik}$和$B_{kj}$都非零时才进行计算[^3] - **时间复杂度**:$O(A_{非零} \times B_{非零}/n)$ #### 、关键技术细节 1. **快速定位元素** - 建立行-列索引字典 - 使用二分查找定位特定行列号 2. **空间优化** - 动态扩展元组表 - 使用十字链表存储结构(进阶) #### 四、实现注意事项 1. 运算前必须验证矩阵维度兼容性 2. 结果矩阵需要重新计算非零元素数量 3. 相加时零元素需从结果中移除 4. 乘法中累加结果为零时应跳过存储 #### 五、性能对比 | 运算类型 | 传统矩阵 | 稀疏矩阵 | |----------|----------|----------| | 存储空间 | $O(n^2)$ | $O(nnz)$ | | 加法时间 | $O(n^2)$ | $O(nnz1+nnz2)$ | | 乘法时间 | $O(n^3)$ | $O(nnz1 \times nnz2/n)$ | ($nnz$表示非零元素数量)
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